Чему эквивалентен косинус х
Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов
Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Запишем предел вида
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )
Предел принимает вид
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1
Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.
Производится подстановка значений
После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:
Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что
Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что
Таблица эквивалентных
Таблица эквивалентных
Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые. Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [latex][\frac<0><0>][/latex]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы[latex]x\rightarrow 0[/latex] в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.
Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу [latex]x\rightarrow 0[/latex], для простоты записи будем писать знак [latex]\sim[/latex] вместо [latex]_
| [latex]sinx \sim x [/latex] | [latex]e^ |
| [latex]tgx\sim x[/latex] | [latex]a^ |
| [latex]arcsinx\sim x[/latex] | [latex]ln(1+x)\sim x[/latex] |
| [latex]arctgx\sim x[/latex] | [latex](1+x)^<\alpha >-1\sim \alpha x[/latex] |
| [latex]shx\sim x[/latex] | [latex]1-cosx\sim \frac |
Докажем некоторые утверждения:
Чему эквивалентен косинус х
Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
| sin ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| t g ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| a r c sin ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| a r c t g ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| 1 – cos ( α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) 2 2 |
| ln ( 1 + α ( x ) ) | эквивалентна | α ( x ) |
| α α ( x ) – 1 | эквивалентна | α ( x ) ln α |
| 1 + α ( x ) p – 1 | эквивалентна | p α ( x ) |
| 1 + α ( x ) 1 p – 1 | эквивалентна | α ( x ) p |
При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Запишем предел вида
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )
Предел принимает вид
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1
Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.
Производится подстановка значений
lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = 1 – cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = » open=» 0 0
После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:
lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2
Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что
lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 1 – cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2
Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что
Таблица эквивалентных
Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые. Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида ) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.
Докажем некоторые утверждения:
Таблица эквивалентных
Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые. Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида ) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.
Докажем некоторые утверждения:
Косинус
Резюме
Определения
В прямоугольном треугольнике
Чтобы определить косинус угла, обозначаемого cos, рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол.
Стороны прямоугольного треугольника называются:
h : длина гипотенузы; а : длина прилегающей стороны.
потому что ( В ^ ) знак равно против о ^ т е ´ в d j в против е нет т час у п о т е ´ нет ты s е знак равно в час <\ displaystyle \ cos (<\ widehat >) = <\ frac 
.
Это соотношение не зависит от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, если он содержит угол, поскольку все эти прямоугольные треугольники подобны.
Из единичного круга
Из всей серии
Как решение дифференциального уравнения
Вся предыдущая серия представляет собой единственное решение проблемы Коши :
что, таким образом, представляет собой эквивалентное определение функции косинуса.
Характеристики
Периодичность
Это свойство естественно следует из определения единичной окружности ( см. Выше ).
Паритет
Функция косинуса является парной :
Это свойство отчетливо проявляется в развитии всей серии.
Взаимный
кто поэтому проверяет
Производная
Производной функции косинуса противоположна функции синуса:
Примитивный
Примитивный соза есть грех, который написан:
Пределы
Из-за своей периодичности он не имеет предела по ± ∞.
Замечательные ценности
Связь с комплексными числами
Косинус используется для определения действительной части комплексного числа z, заданного в полярных координатах, по его модулю r и аргументу φ:
Косинус со сложным аргументом
Функция косинуса может охватывать комплексную область, где это целочисленная функция :
§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции
18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
18.1. Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.
и 
1. Если 
=А ¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.
3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.
4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.
2 и ß=14х 2 при х→0 Решение: При х→0 это б.м.ф. одного порядка, так как
Говорят, что б.м.ф. а и ß одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью
4 и ß=7х б.м.ф. одного порядка при х→0?
Решение: При х→0 функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ß, так как
В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю быстрее, чем ß.
то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем ß.
Решение: Функции 
и ß=х при х→0 являются несравнимыми б.м.ф., так как предел
18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Если 
то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α
х при х→0, т.к 
при x→0, т. к. 
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как
т. е. 
Отсюда 
т. е. α
ß. Аналогично, если 
то α
Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→хо, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е. 
. Тогда
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx
х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
Решение:
Решение: Обозначим arcsinх=t. Тогда х=sint и t→0 при х->0.
Следовательно, arcsin х
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
Решение: Так как tg2x
3х при х→0, то
Решение: Обозначим 1/х=t, из х→∞ следует t→0. Поэтому
Решение: Так как arcsin(x-1)
(х-1) при х→1, то
18.4 Приближенные вычисления
ß, то, отбрасывая в равенстве α=ß+(α-ß) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. α ® ß, получим приближенное равенство α≈ß.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.
Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.
Например, графики функций y=tgx и y=x в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у=sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у=х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.
Решение: In(1,032)=ln(1+0,032)≈0,032 Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что In 1,032=0,031498.