Через что можно провести единственную плоскость

Плоскость в пространстве – необходимые сведения

Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.

Понятие плоскости и ее обозначения

Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.

Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга

Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:

В любой плоскости есть точки.

Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.

Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:

Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Графически последнюю аксиому можно представить так:

Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:

Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.

Графически этот вариант расположения выглядит так:

Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.

Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.

Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга

1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.

2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.

На графике это будет выглядеть так:

В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.

Как задать плоскость в пространстве

В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.

1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.

Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:

2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:

3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:

4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.

На рисунке этот способ будет выглядеть так:

Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:

Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.

Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).

Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:

Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.

Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.

Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.

Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.

Источник

Введение в стереометрию. Параллельность

Важные аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: \(\pi=(ABC)\) (рис. 1).

Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

Доказательство

Определения

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Следствие 1

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 1

Доказательство

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Теорема 3: о параллельности трех прямых

Доказательство

Определение

Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;

2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;

3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости

Доказательство

Следствие 2

Доказательство

Следствие 3

Определение

Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.

Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.

Теорема 5: признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Доказательство

Следствие 4

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

Следствие 5

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны:

\[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

Источник

Через три точки можно провести плоскость

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 317). Проведем прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме Сз через прямые АВ и АС можно провести плоскость . Эта плоскость содержит точки А, В, С.

Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 15.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме Сз такая плоскость единственна.

Задача (13). Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.

Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой . Возьмем точку D, не лежащую на прямой (аксиома I). Через точки А, В, D можно провести плоскость (теорема 15.3). Эта плоскость содержит две точки прямой — точки A и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 15.2).

Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.

сколько плоскостей можно провести через

две различные точки

три различные точки

четыре точки никакие три из которых не лежат на одной прямой.

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1

На схеме это будет выглядеть так:

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

Решение

Используем поочередно оба способа.

Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = – 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = x – ( – 3 ) y – 2 z – ( – 1 ) – 1 – ( – 3 ) 2 – 2 4 – ( – 1 ) 3 – ( – 3 ) 3 – 2 – 1 – ( – 1 ) = = x + 3 y – 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = – 5 x + 30 y + 2 z – 73

Мы получили нужное нам уравнение.

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

Решение

Векторное произведение будет равно:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → – 4 6 2 – 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Если мы используем второй способ, у нас получится:

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0 ⇔ x – 5 y – ( – 8 ) z – ( – 2 ) 1 – 5 – 2 – ( – 8 ) 0 – ( – 2 ) – 1 – 5 1 – ( – 8 ) 1 – ( – 2 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 5 y + 8 z + 2 – 4 6 2 – 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

Источник

Стереометрия. Страница 1

1. Основные фигуры стереометрии

Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.

2. Группа дополнительных аксиом стереометрии

1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.

2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.

Рис. 1. Аксиомы стереометрии.

Пример

Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.

Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).

точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)

Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.

Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е₁.

Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е₁.

Отсюда можно сделать вывод, что точка Е₁ принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е₁, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е₁ совпадают.

Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости.

3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку

Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.

Доказательство.

Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.

Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.

Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

4. Пересечение прямой с плоскостью

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.

Доказательство.

Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:

точки А и В ∈ а, α
прямая а ∈ β
следовательно, точки А и В ∈β

Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.

Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.

5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5

Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.

Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

6.Пример 1

Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).

По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.

Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.

Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую.

Пример 2

Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

Доказательство:

Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.

Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.

Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.

Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости.

Пример 3

Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.

По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.

Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.

Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 4

Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.

Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.

Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей.

Пример 5

Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.

Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).

Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.

Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.

Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.

Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая.

Источник

• ← Через что можно построить плоскость
• Через что можно провести плоскость в пространстве →

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 1