Числа образуют арифметическую прогрессию известно что сумма первых

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Действительно,

Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Источник

Числа образуют арифметическую прогрессию известно что сумма первых

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990

Таким образом, число является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Источник

Задачи на прогрессии

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Числовая последовательность.

Определения и обозначения.

В математике существует понятие последовательности. Здесь мы будем обсуждать числовые последовательности, в общем случае они представляют собой бесконечный набор чисел, расположенных последовательно, друг за другом, «в очередь». При этом каждое число «знает своё место в этой очереди», т.е. однозначно характеризуется своим номером.

Говоря математическим языком,

Последовательность коротко обозначают <x_n>, n ∈ N. Её члены могут быть заданы формулой x_n = f (n), каким-либо правилом или рекуррентным соотношением.

Примеры задач на последовательности из ОГЭ по математике прошлых лет.

Задача 1. Последовательность задана формулой \(a_n = \dfrac<40>.\)
Сколько членов этой последовательности больше 2?

Выпишем несколько членов этой последовательности.

Видно, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, и эта тенденция сохранится, потому что при увеличении номера элемента будет увеличиваться знаменатель дроби при сохранении неизменным её числителя, т.е. сама дробь будет только уменьшаться. Из этих рассуждений делаем вывод, что существует такой номер члена последовательности, что число под этим номером впервые станет меньше либо равным 2, все последующие будут еще меньше, а все числа с меньшими номерами, наоборот, будут больше 2. Чтобы найти этот номер решим неравенство \[ \frac<40> \le 2; \\ 40 \le 2(n+1); \\ 20 \le n+1; \\ n+1 \ge 20; \\ n \ge 19. \] Итак, все числа с номерами большими либо равным 19 меньше 2, следовательно членов последовательности больших, чем 2, ровно 18.

Ответ: 18

Подробное изучение свойств последовательностей, как правило, включают в курсы высшей математики. К классической алгебре относят само понятие «последовательность» и наиболее простые из них – прогрессии. Они отличаются тем, что каждый следующий член такой последовательности может быть найден по значению предыдущего.

Арифметическая прогрессия.

Определения и обозначения.

Арифметической прогрессией называется последовательность <a_n>, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессими d может иметь как положительное, так и отрицательное значение. В первом случае, каждый следующий член прогресси будет на одно и то же число больше предыдущего, а во втором – на одно и тоже число меньше предыдущего.
Например,

Свойства арифметической прогрессии.

Примеры задач на арифметическую прогрессию.

Ответ: −1

Задача 3. Арифметическая прогрессия задана условиями a₁ = 44, a_n+1 = a_n − 17.
Найдите сумму первых 14 её членов.

Искомую сумму можно найти по формуле \(S_n = \dfrac<2>\cdot n\), т.е. \[S_ <14>= \frac><2>\cdot 14 = (a_1+a_<14>)\cdot7.\] Значение первого члена прогрессии известно a₁ = 44. Чтобы найти значение 14-го члена, проанализируем выражение a_n+1 = a_n − 17. Оно свидетельствует о том, что каждый последующий член прогрессии (n+1-ый) меньше текущего (n-ого) на 17, т.е. разность прогрессии d = −17. Поэтому 14-ый член прогрессии можно найти по формуле \(a_n = a_1+d\cdot (n-1)\).

Ответ: −931

Геометрическая прогрессия.

Определения и обозначения.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел <b_n>, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число q ≠ 0. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии.

Обратите внимание, в общем случае, все последовательности бесконечны. Но в задачах часто рассматривают упорядоченные конечные участки таких множеств, также называя их последовательностями и прогрессиями.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а таковыми являются прогрессии со знаменателем |q| существует сумма ВСЕХ её членов

где S – сумма b_n при n, изменяющимся от единицы до бесконечности.

Примеры задач на геометрическую прогрессию.

Задача 4. В геометрической прогрессии <b_n> \[b_3=\frac<4><7>,\; b_6 = 196.\] Найдите знаменатель прогрессии.

Используем соотношение \( b_n = b_k\cdot q^,\) в которое подставим известные величины, а затем решим простое уравнение относительно неизвестных.

\( b_6 = b_3\cdot q^<6-3>\\196 = \dfrac<4><7>\cdot q^3\\ q^3=196 \cdot\dfrac<7> <4>=\dfrac<196\cdot7> <4>=49\cdot7 = 7^3.\\q^3=7^3; \; q = 7.\)

Ответ: 7

Любой член прогрессии можно найти по формуле её общего члена, т.е. через первый член и знаменатель. Поэтому вопрос «найти прогрессию» равносилен вопросу «найти первый член прогрессии и её знаменатель».

Из первого условия, используя равенство \(b_2 = b_1\cdot q\) получаем \[b_1+ b_2 = b_1 + b_1\cdot q = 4\\ b_1\cdot (1+q) = 4 \\ b_1 = \frac<4><1+q>.\] Сумму всех членов прогрессии, которая по условию задачи равна \(\dfrac<16><3>,\) найдём по формуле \(S = \dfrac<1-q>\). Подставим полученную зависимость для \(b_1\) и составим уравнение для определения неизвестного знаменателя прогрессии.

1. \(q = \dfrac<1> <2>= 0,5; \; b_1 = \dfrac<4> <1+q>= \dfrac<4> <1+0,5>= \dfrac<4> <1,5>= \dfrac<40> <15>= \dfrac<8><3>; \\ b_n = \dfrac<8><3>\cdot \left(\dfrac<1><2>\right)^ = \dfrac<8><3\cdot 2^>\)

Для краткого обозначения того, что последовательность представляет собою арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале знак ÷
Для обозначения того, что последовательность представляет собою геометрическую прогрессию, иногда ставят в начале знак — ::

Разумеется, не следует зацикливаться на обозначениях. Арифметическую и геометрическую прогрессию необязательно обозначать символами <a_n> и <b_n>, хотя их используют довольно часто. Это облегчает восприятие понятий на первом этапе, но не более того. Для последовательностей вообще и прогрессий в частности часто используют <a_k>, <u_n>, <x_m>, <β_i> и другие символы латинского и греческого алфавита. При этом нижний индекс – натуральное число, изменяющееся от 1 до ∞. Однако и это необязательно. Бывают случаи, когда члены последовательности начинают нумеровать с нуля.

Задачи на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.

В ОГЭ по математике в наступающем году произошли некоторые изменения в заданиях, связанных с этой темой. Задание на работу с последовательностями и прогрессиями (задание 12 в КИМ 2020 г.) заменено на задание с практическим содержанием, направленное на проверку умения применять знания о последовательностях и прогрессиях в прикладных ситуациях (задание 14 в КИМ 2021 г.).

Задача 6. За первую минуту бега спортсмен пробежал 300 метров, а в каждую следующую минуту он пробегал на 5 метров больше, чем в предыдущую. С какой скоростью спортсмен закончил тренировку, если она длилась 20 минут? Ответ дайте в километрах в час.

Анализируя текст задачи, приходим к выводу, что ускорение бега спорсмена происходило по графику арифметической прогрессии, первый член которой равен 300 м, а разность d = 5 м. Определим, сколько метров он пробежал в последнюю (20-ю) минуту бега. \[ a_n = a_1 +d\cdot(n-1) \\ a_ <20>= 300 + 5\cdot(20-1) \\ a_ <20>= 300 + 5\cdot19 = 300+95 = 395 (м).\] Фактически, мы уже определили среднюю скорость бега в конце тренировки, но в метрах в минуту. Для того, чтобы дать требуемый ответ, осталось перейди к другим единицам измерения скорости. \[ \frac<395\cdot60> <1000>= 23,7 (км/ч)\]

Ответ: 23,7

Задача 7. Фермер Алексей приобрёл новый земельный участок весной 2015 года и сразу засеял его пшеницей. Используя эффективные приёмы агротехники, он ежегодно увеличивал урожайность пшеницы на 2,9 ц/га и в 2020 году собрал в среднем по 24,5 центнера пшеницы с гектара. Какова была урожайность пшеницы в первый год использования участка Алексеем? Ответ дайте в ц/га (центнерах с гектара).

Фермер ежегодно увеличивал урожай на одно и то же число центнеров с гектара – арифметическая прогрессия.

Ответ: 10

Задача 8. Михаил заключил с банком на срок 5 лет следующий договор. Ежегодно он вносит в банк вклад в размере 10 000 руб., не снимая ранее внесённых средств. В конце каждого года банк начисляет 5% дохода на всю сумму средств, вложенных Михаилом к этому моменту. Сколько рублей он сможет забрать из банка по истечении срока действия договора?

Михаил в течение срока договора должен внести 5 раз по 10000 руб. и банк должен 5 раз начислить процент на общую сумму средств на счету Михаила. При этом сумма, находящаяся на счету в момент начисления процентов, увеличится в 1,05 раза.

Замечание. Для решения таких задач лучше переходить от процентов к коэффициентам. Например, сумма составляет S рублей, один процент от неё составляет \(\dfrac<100>\) рублей, а 5%, соответственно составляют \(\dfrac<100>\) рублей. В результате на счету образуется \(S + \dfrac<100>\) рублей. Преобразуем это выражение

\( S + \dfrac <100>= \dfrac<100S + 5S> <100>= \dfrac<105S> <100>= 1,05S \)
Таким образом, увеличение суммы на 5% равносильно умножению её на коэффициент 1,05.
Подробнее о различных способах работы с процентами можно посмотреть на странице, посвященной решению текстовых задач.

Ответ:58019,13

Задача 9. Представьте в виде обыкновенной дроби десятичную дробь 2,5(3).

Замечание. Самый простой способ переходить от десятичных дробей к обыкновенным – читать число вслух и записывать с делением дробной чертой. Например, «и три тысячных» то же самое, что \(«+ \dfrac<3><1000>«\).

В новой записи заданного числа видно, что каждое слагаемое, начиная с четвёртого, ровно в 10 раз иеньше предыдущего. Таким образом, эти слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен третьему слагаемому \(b_1 = \dfrac<3> <100>= 0,03\), а знаменатель прогрессии равен \(b_1 = \dfrac<1> <10>= 0,1\). Поэтому само число теперь можно записать как

Ответ: \(2\dfrac<8><15>\)

Задачи для самостоятельного решения.

Ответы и решения этих задач временно скрыты. Чтобы посмотреть их, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.

Задача 10. На каждый День Рождения родители Саши бросают в его копилку столько монет, сколько ему лет. Сейчас в копилке Саши 21 монета. Сколько ему лет?

Каждый День Рождения Саше становится на один год больше и, соответственно, в копилку попадает на одну монету больше. Таким образом, мы имеем дело с возрастающей арифметической прогрессией, разность которой d = 1. Первый член прогресии \(a_1 = 1\), так как первый День Рождения Саши, очевидно, отмечался, когда ему исполнился один год.

Проверка.
При выполнении таких ответственных заданий, как экзаменационные задания, по возможности желательно делать проверку. Поскольку оказалось, что Саше не так много лет, то можно «вручную» сложить все монеты, которые за 6 лет попали в копилку. 1+2+3+4+5+6 = 21. Их сумма, действительно, оказалась равной 21. Значит задача решена верно.

Ответ: 6

Задача 11. Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника ровно за 7 дней. В первый день Вася решил 5 задач и затем каждый день решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день. Сколько задач решил в первый день Петя, если для того, чтобы догнать Васю он был вынужден каждый день решать на две задачи больше, чем в предыдущий день.

Оба мальчика решали задачи каждый день, увеличивая их количестко на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия. Васин график известен полностью: \(a_1 = 5\) и \(d = 1\). Зная, что все задачи сборника решены Васей за 7 дней, можем определить, сколько всего задач в сборнике \[S_7 = \frac<2>\cdot7 \\ a_7 = a_1 + d(7-1) = 5 + 1\cdot6 = 11\\ S_7 = \frac<5+11><2>\cdot7 = 56\] Итак, в сборнике 56 задач, которые Петя тоже решил за 7 дней. И в этом случае используем формулу суммы арифметичексой прогрессии, но теперь для составления уравнения относительно \(a_1\). Разность прогрессии известна d = 2. \[S_7 = \frac<2>\cdot7 \\ a_7 = a_1 + d(7-1) = a_1 + 2\cdot6 = a_1 + 12\\ S_7 = \frac<2>\cdot7 = (a_1+6)\cdot7\] Решаем уравнение \[7a_1+42 = 56\\ 7a_1 = 14;\; a_1 = 2.\]

Ответ: 2

Ответ: 10

Ответ: 24

О занятиях Андрея сказано, что он «каждый день увеличивал количество повторов вдвое», т.е. в 2 раза. Значит его график тренировок представлял собой геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем \(q = 2.\) Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена геометрической прогрессии \(b_n = 16.\) Используем для этого формулу её общего члена \[b_n = b_1\cdot q^ \\ 16 = 1\cdot 2^ \\ 2^4 = 2^;\\n-1 = 4;\; n=5 \] Николай достигнет планируемой нормы на 5-ый день занятий.

Оказывается они придут к цели одновременно.

Ответ: 5

Источник

• ← Числа натурального ряда что
• Числа первого разряда второго и третьего что это →