Число в бесконечной степени чему равно

Число в степени бесконечность

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно. Поскольку показательная функция

при а>1 возрастает, то для таких а

При 0

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

Таким образом, приходим к выводу, что

2) Вычислить предел функции:

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

Источник

Один в степени бесконечность

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

(не забываем о требовании f(x)→0, при x→0).

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

Источник

Виды бесконечностей и вынос мозга

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

Известные факты

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это — символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <

,>. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между и ? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!

Чтобы получить надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до , после чего, естественно, идет

Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс . Как вам такая мощность, например: ? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

Сразу большой шаг

Далее мы пойдем быстрее:

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая, , что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

Еще дальше.

Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя . Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

Иерархия больших мощностей.

Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:

За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:

Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.

Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.

Источник

Бесконечное возведение в степень на примере x^x^x^. = 2.

Стооооооооооп,чет я ничего не понял

чёт не пойму как написать эту бесконечную степень в wolfram alpha

Эту бесконечную степень можно разложить в последовательность, ее предел будет =0 при x 1. А тут еще утверждается, что все члены последовательности равны между собой. Одним словом, такая задача решения не имеет. Да побьют меня математики за сумбурное объяснение.

Но ведь подобное уравнение должно иметь бесконечное количество решение.

x = 9. 9^9=387420489. Удачи с дальнейшим возведением. И попробуй получить двойку.

Молдавские учёные решили проблему, над которой 140 лет бились математики всего мира

Два математика из Молдовы первыми в мире решили алгебраическую проблему, над которой 140 лет размышляли великие ученые мира. Об этом на этой неделе сообщил Технический университет Молдовы (UTM).

«Доктор физико-математических наук Михаил Попа и доктор математических наук Виктор Прикоп первыми в мире нашли решение знаменитой проблемы центра и фокуса, поставленной выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, над которой великие математики мира размышляли более века», — говорится на сайте университета.

Этой проблеме посвятили тысячи работ математики из Франции, России, Беларуссии, Китая, Великобритании, Канады, США и других стран мира. Только в Молдове число работ, посвященных проблеме Пуанкаре, приближается к сотне, отметили в UTM.

Профессор университета Михаил Попа, основатель научной школы алгебры Ли и дифференциальных систем, предложил собственное решение проблемы центра и фокуса, которое привело его к результату, ставшему открытием.

Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».

Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.

Где-то всплакнул Гриша Перельман.

Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.

Единственный в своём роде треугольник Шарыгина, открытый лишь в 1982 году

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.

Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?

Но, погодите, есть же еще биссектрисы!

И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным!

Заметка Шарыгина об этом объекте опубликована в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1982.

Впрочем, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!

Основная суть доказательства сводится к рассмотрению подобных треугольников и применению теоремы косинусов, что позволяет получить вот такие выражения для сторон треугольника:

Самим доказательством (доступным каждому школьнику 9 класса!) можно проникнуться в телеграмм-канале «Математика не для всех».

Тогда еще, наверное, не знали, что квадратные уравнения будут уметь решать все.

Сегодня я хочу рассказать Вам о методе дополнения до квадрата, который широко использовал арабский математик Аль-Хорезми, живший в 8 веке нашей эры. Пусть имеется такое квадратное уравнение:

Отдельно стоит сказать, что отрицательные числа во времена Аль=Хорезми еще были не в ходу. Отсюда и необычная запись условия.

Сразу же мы построили квадрат со стороной х. Теперь необходимо коэффициент при х разделить на 4 и отложить по сторонам квадрата соответствующие прямоугольники:

Теперь еще одно построение: дополним нашу фигуру до квадрата и посчитаем площади двумя способами:

Получается точь-в-точь как при решении через дискриминант. Можете проверить

Гениальная, но простая идея Рихарда Дедекинда, ставшая озарением для математики

Что мы знаем об этом поле? В нём существуют понятные каждому законы:

1. Если число a > b, b > c, то a > c. На числовой прямой, иначе говоря, это будет значить, что b лежит между a и c.
2. Если a и b различные числа, то между ними существует бесконечное количество других чисел.

Без потери общности можно рассматривать только положительные рациональные числа
3.

Важно добавить, что число a является наибольшим элементом в A1 либо в наименьшим в A2.

Само число а можно произвольно отнести к первому или второму классу, но самый важный вывод в том, что получено определение рационального числа а как сечения (A1, A2). С другой стороны понятно, что каждое заданное таким образом сечение определяет натуральное число.

На самом деле, сечение, производимое √2 имеет значительные различия от сечений, которые производят рациональные числа. Например, в классе А1 (красный цвет) нет наибольшего числа: мы сколько угодно можем приближать к √2 слева, применяя всё более точные рациональные дроби, но никогда не найдем «того самого наибольшего». Такая же ситуация и справа: для класса А2 (синий цвет) никогда не найти «наименьшего» в мире рациональных чисел.

Таким образом, мы закрываем всю вещественную прямую плотным слоем рациональных и иррациональных чисел, а доопределив среди них отношение порядка и арифметические операции, порождаем совокупный класс вещественных чисел, каждое из которых может быть приближено рациональными числами с любой точностью.

Источник