Что больше среднее арифметическое или среднее геометрическое
Среднее геометрическое против среднего арифметического
Разница между средним геометрическим и средним арифметическим
Среднее арифметическое и среднее геометрическое являются инструментами, широко используемыми для расчета доходности инвестиций для инвестиционных портфелей в мире финансов. Люди используют среднее арифметическое, чтобы сообщать о более высокой прибыли, которая не является правильной мерой расчета прибыли на инвестиции. Поскольку окупаемость инвестиций в портфель по годам зависит от доходности в предыдущие годы, среднее геометрическое является правильным способом расчета окупаемости инвестиций за определенный период времени. Среднее арифметическое лучше подходит в ситуации, когда переменные, используемые для расчета среднего значения, не зависят друг от друга.
Пример: использование пригодности среднего геометрического и среднего арифметического
Что создает неправильное впечатление, что инвестор безубыточен на своих инвестициях и нет никаких потерь или прибыли. Однако более тщательный анализ дает совершенно иную картину сценария.
Среднее геометрическое возвращений
Это означает, что годовая доходность портфеля была отрицательной 13, 40%. Инвестиционная позиция после двух лет выглядит следующим образом:
2. Когда нужно вычислить среднее значение переменных, которые не зависят друг от друга, арифметика означает подходящий инструмент для вычисления среднего. Среднее количество баллов студента по 5 предметам может быть рассчитано по среднему арифметическому, так как баллы студента по различным предметам не зависят друг от друга.
Сравнение геометрического среднего с средним арифметическим (инфографика)
Ниже приведена верхняя 8 разница между средним геометрическим и средним арифметическим
Ключевые различия между средним геометрическим и средним арифметическим
Давайте обсудим некоторые основные различия между средним геометрическим и средним арифметическим:
Среднее геометрическое и среднее арифметическое Сравнительная таблица
Давайте посмотрим на 8 лучших Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического
Основа сравнения среднего арифметического и среднего геометрического |
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Соотношение между средними величинами.
Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.
Применим формулу «квадрат разности»:
Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :
Применим формулу «квадрат суммы»:
Разделим обе части неравенства на 4 :
;
Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:
Получили искомое выражение.
Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.
Для доказательства рассмотрим разность
Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.
Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть . Рассмотрим разность
Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:
.
Дано: окр. (О;ОА); AD = a ; BD = b
Доказать:
АВ – диаметр, АВ = a + b и
, следовательно,
.
угол АСВ – вписанный
дуга АКВ = 180° значит, угол АСВ = 90 ° (по свойству вписанного угла)
Таким образом, ∆АСВ – прямоугольный,
(по общему острому углу)
2) ∆АВС подобен ∆ CBD
4) , следовательно,
, следовательно,
, следовательно,
, значит,
, то есть
.
Поэтому , что и требовалось доказать.
Это неравенство можно доказать и другим способом.
Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.
Доказать:
АК – биссектриса, следовательно, ВАL =
LAD.
LAD и
BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть
BLA =
LAD.
В = 90°, следовательно,
BAL =
LAD = 45°, но
BLA =
LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
∆ AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.
4)
Очевидно, что ,
равенство достигается при
;
,
или
,
то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.
Сравнение среднего квадратичного и среднего арифметического.
Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел . Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел
среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:
,
в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда .
Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.
Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.
Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправляясь от чисел 1 и 3, получаем
В этом примере последовательности и
очень быстро сближаются. Всегда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел.
Арифметико – гармоническое среднее.
Пусть выбранная пара средних – это среднее гармоническое и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей и
определяются формулами
,
,
,
.
Рассмотрим среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое
.
Отсюда следует, что
.
То есть последовательность возрастает «навстречу» убывающей последовательности
.
Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, они имеют пределы. Пусть ,
. Вычислим предел
Так как и
, где n =0, 1, 2, 3,… ;
;
, то
, поэтому
Поэтому .
Арифметико – гармоническое среднее совпадает со средним геометрическим.
;
.
и далее все знаки стабилизируются:
.
Арифметико – геометрическое среднее.
Четырнадцатилетний карл Фридрих Гаусс обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательностей и
с помощью арифметических и геометрических средних:
,
,
эти последовательности очень быстро сближаются.
Их общий предел называется арифметико – геометрическим средним чисел a и b и обозначается через . Найти явное выражение
через a и b очень не просто. Впервые оно было получено Гауссом в результате необычайно остроумных и виртуозных рассуждений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интегралов.
Геометрическо – гармоническое среднее.
Если строить последовательности и
с помощью средних гармонических и средних геометрических:
;
,
то в этом случае они сходятся к общему пределу. Назовём его геометрическо – гармоническим средним a и b и обозначим его через . Однако ничего существенно нового по сравнению с предыдущими последовательностями здесь нет, так как
;
.
.
Осреднение значений, Среднее арифметическое против Среднее геометрическое
Оснащение проходки горных выработок, ПОС, нормоконтроль, КР, АР
Добрый день.
Интересно разобраться раз и навсегда, когда какое среднее употреблять правильно и почему.
В интернете научные статьи пестрят непонятными терминами, в которых я ничего не понимаю.
Если возможно опишите своими словами, как понимаете это явление.
Вот, например, в законе Бернулли для течения идеальной жидности (p+ро*g*h+g*v^2/2=const в каждом сечении) используется осреднённая по сечению скорость.
Ну ладно, там закон для идеальной жидкости без трения слоёв, может быть в такой жидкости и правда скорости по сечению равны.
Но этот закон используется далее в гидравлике применительно к обычной жидкости с ламинарным движением с погрешностью.
А тут уже по сечению будут разные скорости, причём может и не симметричные.
Для формулы требуется осреднённая скорость, от качества осреднения зависит погрешность.
Интуитивно напрашивается среднее геометрическое потому что в формуле Бернулли скорости перемножаются. Но это как-то глупо звучит.
Из википедии:
Сре́днее арифмети́ческое — одна из наиболее распространённых мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех зафиксированных значений, деленную на их количество.
= (x1+x2+. +xn)/n
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.
= (x1*x2*. *xn)^(1/n)
среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию. Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако, этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее, если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число из-за Билла Гейтса. Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего. |
Если числа перемножать, а не складывать, нужно использовать среднее геометрическое, а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах. |
Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста, по которым годовой рост получается только около 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.
Различия в арифметическом и геометрическом среднем
Содержание:
Формулы для расчета
Наиболее очевидная разница между средним арифметическим и средним геометрическим значением для набора данных заключается в том, как они рассчитываются. Среднее арифметическое рассчитывается путем сложения всех чисел в наборе данных и деления результата на общее количество точек данных.
Пример: среднее арифметическое 11, 13, 17 и 1000 = (11 + 13 + 17 + 1000) / 4 = 260,25
Пример: среднее геометрическое из 11, 13, 17 и 1000 = 4-й корень из (11 x 13 x 17 x 1000) = 39,5
Влияние выбросов
Когда вы смотрите на результаты вычислений среднего арифметического и среднего геометрического, вы замечаете, что влияние выбросов значительно уменьшается в среднем геометрическом значении. Что это значит? В наборе данных 11, 13, 17 и 1000 число 1000 называется «выбросом», потому что его значение намного выше, чем все остальные. Когда вычисляется среднее арифметическое, результат составляет 260,25. Обратите внимание, что ни одно число в наборе данных не близко даже к 260,25, поэтому среднее арифметическое в этом случае не является репрезентативным. Эффект выброса был преувеличен. Среднее геометрическое значение 39,5 лучше показывает, что большинство чисел из набора данных находятся в диапазоне от 0 до 50.
Пользы
Геометрические средние используются в тех случаях, когда различия между точками данных являются логарифмическими или отличаются от кратных 10. Биологи используют геометрические средства для описания размеров популяций бактерий, которые могут составлять 20 организмов в один день и 20 000 в следующий. Экономисты могут использовать геометрические средства для описания распределения доходов. Вы и большинство ваших соседей могли бы зарабатывать около 65 000 долларов в год, но что, если парень на холме зарабатывает 65 миллионов долларов в год? Среднее арифметическое значение дохода в вашем районе будет вводить в заблуждение, поэтому геометрическое среднее будет более подходящим.
- Что больше сравнить числа
- Что больше средний заработок или зарплата