Что больше сторона квадрата или диагональ

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Источник

Формулы и способы как находить диагональ квадрата

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Определения и соглашения

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр. В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Источник

Геометрические фигуры. Квадрат.

Квадрат — правильный четырёхугольник. У квадрата все углы и стороны одинаковы.

Квадраты различаются лишь длиной стороны, а все 4 угла прямые и равны 90°.

Квадратом может стать параллелограмм, ромб либо прямоугольник, когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.

Свойства квадрата.

— у всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:

— противолежащие стороны квадрата параллельны:

— каждый уг ол квадрата прямой:

— сумма углов квадрата равна 360°:

— каждая диагональ квадрата имеет такую же длину, как и другая:

— каждая из диагоналей квадрата делит квадрат на 2 одинаковые симметричные фигуры.

— угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2

— точку пересечения диагоналей называют центр квадрата и она оказывается центром вписанной и описанной окружностей.

— все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

— диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника, кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата.

Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.

Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.

Формулы для определения длины диагонали квадрата:

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

4. Сумма углов квадрата = 360°:

5. Диагонали квадрата одной длины:

6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:

7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

R – радиус описанной окружности;

D – диаметр описанной окружности;

11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:

C – линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;

Вписанный круг в квадрат – это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Источник

Диагональ квадрата

Квадрат принадлежит к рангу правильных многоугольников, то есть это равносторонний четырехугольник. Являясь синтезом ромба и прямоугольника, каждый из которых в свою очередь представляет собой производную фигуру от, параллелограмма, квадрат объединяет в себе все свойства вышеперечисленных фигур.

Как это поможет найти диагональ квадрата? Рассмотрим два его основных свойства:
— Все стороны квадрата равны (от ромба)
— Все углы квадрата являются прямыми, то есть равны 90 градусам (от прямоугольника)

a 2 +b 2 =c 2
a 2 +b 2 =d 2
2a 2 =d 2

Чтобы из данного тождества вывести формулу диагонали, нужно поместить удвоенный квадрат стороны под квадратный корень, и так как сторона квадрата также возведена во вторую степень, ее можно будет сразу вынести из под корня. В итоге формула диагонали квадрата через сторону будет выглядеть как сторона квадрата, умноженная на корень из двух:

Данная формула применима ко всем случаям, когда необходимо найти диагональ квадрата. При этом в задаче может быть дан не сам квадрат, а форма квадрата как осевое сечение цилиндра, например, тогда длина диагонали квадрата равна диагонали сечения.

Следует также учитывать, что точка пересечения диагоналей делит их на две равные части (свойство параллелограмма), соответственно каждый отрезок, полученный в результате пересечения диагоналей, будет равен половине диагонали квадрата.

Формулы диагонали квадрата через площадь, периметр

Источник

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Из формулы (5) найдем R:

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Источник