Что брать на геометрию
Что взять с собой на ЕГЭ
В России 31 мая начинается основной период сдачи ЕГЭ. Почему на экзаменах нужна именно чёрная гелевая ручка, как различить программируемый и непрограммируемый калькуляторы и что лучше оставить дома — в нашем материале.
Что обязательно стоит взять на ЕГЭ
🖊 Чёрную гелевую ручку
Что можно взять на любой экзамен
🍫 Шоколадку или другой перекус
🩺 Учащимся с ограниченными возможностями здоровья — специальные технические средства
Всё, что вы берёте с собой, организаторы осмотрят на наличие шпаргалок. Лучше оставить продукты вне аудитории, чтобы случайно не облить и не испачкать КИМы.
Что взять на ЕГЭ по конкретным предметам
В зависимости от предмета, можно взять с собой на ЕГЭ вспомогательные вещи. Получается такой набор:
Калькулятор
Очень важно, чтобы при вас был непрограммируемый калькулятор, который только складывает, вычитает, делит, умножает, извлекает корень и вычисляет тригонометрические функции (sin, cos, tg, ctg, arcsin, arcos, arctg).
Главное отличие программируемого от непрограммируемого калькулятора — наличие портов для соединения с другими устройствами и присутствие кнопок PRG, PR или Program. Остальное — детали. Например, количество кнопок на калькуляторе не говорит ни о чём. Даже обычный 24-кнопочный калькулятор может иметь функцию программирования. Чтобы точно убедиться, что ваш калькулятор подходит, посмотрите на список моделей, которые можно приносить на экзамен.
Что нельзя приносить с собой на ЕГЭ
Уведомление оставьте в пункте хранения вещей или у организатора на входе. Не забудьте оставить умные часы и другие гаджеты вне аудитории, если их увидит организатор, никто не поверит, что вы случайно забыли их снять.
Основы геометрии
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.
Все эти фигуры обладают двумя свойствами:
Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.
У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.
Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).
Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.
Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.
Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.
Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — 
,
то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).
Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.
Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.
Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.
Первый признак равенства треугольников звучит так:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.
Подобные треугольники
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Треугольники АВС и A1B1C1 будут подобны, если
Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A1B1C1 подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA1B1C1.
Теорема о первом признаке подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.
На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.
Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.
Классификация треугольников по их сторонам
Для классификации треугольников можно использовать их типологию.
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Свойства прямоугольного треугольника
С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Взаимодействие объектов
Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.
Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.
Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.
На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.
Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:
Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.
На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.
В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.
Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.
Как проверить геометрию кузова автомобиля
При покупке авто советую проверять геометрию кузова: поймете, было ли серьезное ДТП и насколько машина безопасна для эксплуатации.
Что такое геометрия кузова, почему ее важно проверять, где и как это сделать, расскажу в этом материале.
ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ КУЗОВА И ЗАЧЕМ ЕЕ НУЖНО ПРОВЕРЯТЬ
Геометрия кузова – это расстояния между силовыми элементами кузова и основными опорными точками, на которые крепятся детали ходовой системы. За счет этого обеспечивается правильная работа узлов и механизмов, закрепленных непосредственно к кузову.
К таким расстояниям можно отнести размеры дверных проемов, подкапотного пространства, багажного отделения и проч. Наиболее важными являются расстояния между опорными точками, выполняющими несущую роль для деталей подвески, – между лонжеронами, стаканами и др.
От правильности геометрии кузова зависит четкое расположение колесной базы, ширина колеи и прочие параметры, которые влияют на комфортное управление, безопасность и маневренность во время движения.
Когда машины сходят с конвейера, кузова у них, как у близнецов, – все одинаковые. А дальше у авто начинается своя жизнь. Одни машины владельцы берегут, объезжая каждую кочку, другие – грузят мешками с картошкой сверх меры, третьи – бьют о встречные ТС, загибая кузов или сворачивая подвеску.
Когда геометрия кузова нарушается:
• машина едет боком и «бросается» в сторону после кочек;
• на ровной поверхности авто стоит с перекосом;
• двери плохо закрываются;
• вклеенные стекла могут лопнуть;
• колеса неравномерно изнашиваются;
• сайлентблоки на одной стороне быстро выходят из строя.
Владельцы от машины спешат избавиться, и тут самое важное – не купить ее. Вот почему важно проверять геометрию кузова при осмотре автомобиля.
ГДЕ ПРОВЕРИТЬ ГЕОМЕТРИЮ КУЗОВА
Чтобы узнать, нарушалась ли геометрия кузова, рекомендую пробивать понравившееся авто через специальные онлайн-сервисы. Я проверяю машины через сервис avtocod.ru. Он показывает много данных по автомобилю: количество владельцев, географию эксплуатации, залог, розыск, ограничения, неоплаченные штрафы, утилизацию, использование в такси, пробег и проч., в том числе и сведения о ДТП.
Информацию об авариях сервис запрашивает у ГИБДД. Если авария была, в специальном разделе отчета увидите, когда и где она произошла, к какому типу относится (например, столкновение), какие повреждения получил автомобиль.
Если производились расчеты ремонтных работ, внимательно изучите список замен. Если менялось крыло и подфарник, то это мелочи, не влияющие на геометрию. Если пострадала крыша, рамка ветрового стекла и капот, значит, машина переворачивалась, и геометрия кузова могла серьезно пострадать.
Покажу на примере. Продается свежий Renault Duster. Внешне он выглядит отлично и, со слов владельца, подводных камней не имеет.
Пробиваю госномер «Дастера» на главной странице «Автокода» и через пять минут получаю полный отчет.
Среди проблем отобразилось только ДТП.
Спускаюсь в раздел с ДТП и вижу, что кузов у машины полностью деформирован. Схемы аварии нет, так как ее нет в базе ГИБДД.
Подводный камень у машины есть, и очень серьезный. Брать ее даже из-под одного владельца после года эксплуатации не стоит.
КАК ВИЗУАЛЬНО ПРОВЕРИТЬ ГЕОМЕТРИЮ КУЗОВА
На осмотре советую обходить автомобиль с расстояния 10-15 метров. Внимательно посмотрите на параллельность линии бампера и нижней кромки лобового стекла – поймете, перекошены ли передние лонжероны.
Затем проверьте зазоры в дверных проемах. И тоже не вплотную: с расстояния легче оценить перекосы дверей. Потом осмотрите двери поближе. Среди жестянщиков есть умельцы, которые не «тянут» проем, а подпиливают дверцы, подгоняя зазор. Это заметно, особенно с внутренней поверхности двери.
Закончив с внешним осмотром, замерьте опорные точки ходовой части. Лучше всего делать это на подъемнике или канаве. Если возникнут подозрения, что «ходовка гнутая», воспользуйтесь рулеткой и уровнем с линейкой не менее 1 м.
Желательно найти в интернете схему контрольных точек геометрии кузова и по ней сверить размеры. К примеру, на этом сайте.
Можно обойтись и без схемы. Я зачастую, чтобы предварительно убедиться, что кузов не кривой, меряю:
• расстояния и диагонали между симметричными точками кузова или подвески;
• или расстояния между самыми удаленными точками панелей, несущих агрегаты ходовой части: лонжероны, балки, подрамники, кронштейны.
Если они одинаковые, автомобиль ровный.
Мерять колею, как советуют в интернете, считаю лишним. Как правило, ширину колеи, определяет подрамник или балка, а уж его (или ее) при хорошей аварии, наверняка, заменили, и смысла в замере не будет.
При измерениях я также пользуюсь лазерной указкой. Она упрощает и ускоряет процесс измерений. Закрепите указку в каких-нибудь одинаковых местах и проверьте координаты световой точки на ответной детали или плоскости.
КАК ПРОВЕРЯЮТ ГЕОМЕТРИЮ КУЗОВА СПЕЦИАЛИСТЫ
Если рулетка и уровень говорят, что с геометрией все нормально, но сомнения остаются, обратитесь к специалистам. Сервисов, проверяющих геометрию кузова, немало. Самые крутые оказывают услугу с помощью универсальной электронной системы измерений щупом-указкой.
Сначала машина ставится на стенд или на ровный пол. Затем специалист прикладывает щуп-указку к контрольным точкам.
После замеров программа сама накладывает полученные данные на контрольные точки, указанные в шаблоне, и выдает распечатку. Погрешность замеров – максимум 1 мм. Все, что больше, программа видит как смещение.
Стоит исследование в среднем 5 000 рублей. За точный диагноз состояния кузова не так много.
БРАТЬ ИЛИ НЕ БРАТЬ АВТО С НАРУШЕННОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ КУЗОВА
Если кузов «винтом» или «дугой», от покупки лучше отказаться: это почти не лечится. Если смещена одна-две опорные точки подвески и это можно исправить несложным кузовным ремонтом, я попытался бы сбить цену.
Если продавец пойдет на уступки, почему бы и не взять? Особенно если машина понравилась, и цена позволяет и ремонт сделать, и сэкономить на покупке. После грамотного кузовного ремонта машина может еще очень долго проездить без проблем.
Проверяйте геометрию кузова, но не делайте из этого решающий фактор при покупке автомобиля.