Что будет если корень умножить на корень
Что будет если корень умножить на корень
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.
Начнём с самой простой. Вот она:
Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.
Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.
Как умножать корни?
Да очень просто. Прямо по формуле. Например:
Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?
Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.
Как внести число под корень?
Предположим, что у нас есть вот такое выражение:
Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?
Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:
Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.
Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.
Как сравнивать корни?
Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.
Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)
Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?
Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:
И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.
Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.
Как извлекать корни из больших чисел?
Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:
Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!
Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:
Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.
Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?
Как вынести множитель из-под корня?
Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:
Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!
Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:
Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:
Применим знания к практике? Начнём с простенького:
Умножение корней: основные правила
Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.
Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)
Вы ведь тоже ещё не вкурили?
Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:
Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.
Основное правило умножения
. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:
Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:
Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.
Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.
Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:
И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.
Случай произвольного показателя
В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:
И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.
Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:
Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?
При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)
Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.
Умножение корней с разными показателями
Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:
Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.
А пока рассмотрим парочку примеров:
Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)
Умножать корни несложно
Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?
Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:
Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).
Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)
%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)
Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.
Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:
Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:
Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:
Но тогда получается какая-то хрень:
В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)
Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.
Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:
Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.
Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)
Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:
Ну что? Потренируемся?
Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.
Пример 2. Упростите выражение:
Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.
Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:
Например, можно было поступить так:
По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.
Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?
Умножение корней: методы и применение
Известно, что знак корня является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.
Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:
Метод умножения корней без множителей
Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.
Далее необходимо перемножить числа под корнем.
Пример 1: 18 × 2 = 36
Пример 2: 10 × 5 = 50
Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:
Метод умножения показателей с множителями
Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:
Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ( 2 × 10 ) = 3 20
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ( 3 × 6 ) = 12 18
Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:
Пример 1: 3 20 = 3 ( 4 × 5 ) = 3 ( 2 × 2 ) × 5 = ( 3 × 2 ) 5 = 6 5
Пример 2: 12 18 = 12 ( 9 × 2 ) = 12 ( 3 × 3 ) × 2 = ( 12 × 3 ) 2 = 36 2
Метод умножения корней с разными показателями
Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.
Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения:
Записать каждое выражение с новым показателем:
Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:
5 2 6 = ( 5 × 5 ) 6 = 25 6 2 3 6 = ( 2 × 2 × 2 ) 6 = 8 6
Перемножить числа под корнем:
( 8 × 25 ) 6
Записать результат:
( 8 × 25 ) 6 = 200 6
По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.
Перемножение корней с одинаковыми основаниями
Как происходит перемножение корней с одинаковыми основаниями
Теорема умножения корней с одинаковыми основаниями: корень из произведения пары неотрицательных чисел определяется, как произведение квадратных чисел.
Правило применимо в том случае, когда требуется объединить различные числа под одним знаком корня, либо при необходимости представить запись выражения в виде произведения:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Области применения теоремы:
В последнем случае число возводят в степень, соответствующую показателю корня, и записывают под знаком корня, таким образом:
Существует ограничение в данной теореме. Недопустимо умножать корни, которые имеют разные показатели.
Примеры решения задач
\(\sqrt<36 \cdot 64 9>=\sqrt <36>\cdot \sqrt <64>\cdot \sqrt<9>=6 \cdot 8 \cdot 3 = 144\)
\(\sqrt<7056>=\sqrt<2^4+3^3+7^2>=\sqrt <2^4>\cdot \sqrt <3^2>\cdot \sqrt <7^2>= 2^2 \cdot 3 cdot 7 =84\)
Решение примеров с помощью обобщения теоремы
Решение типичных задач на применение теоремы умножения корней основано на упрощении иррациональных выражений. При извлечении корней из 32 и 2 было получено произведение, которое являлось точным квадратом, корень из которого определяется рациональным числом. Отдельно вычислить \(\sqrt<32>\) и \(\sqrt<2>\) не представляется возможным. В последнем примере в обоих подкоренных выражениях находятся дробные числа. С помощью произведения удалось сократить многие из множителей, что позволило оптимально преобразовать все выражение.
Умножать можно не только пары, но и несколько корней. Правило справедливо и в этом случае. Целесообразно рассмотреть применение теоремы на примерах:
Во втором выражении третий множитель имеет под корнем десятичную дробь. В процессе преобразований она была заменена обычной дробью, что позволило выполнить сокращение. Благодаря исключению из иррациональных выражений десятичных дробей, существенно упрощается их решение.
В задачах нередко встречаются корни с произвольной степенью n. При этом можно воспользоваться правилом умножения корней. Таким образом, чтобы перемножить два корня степени n, требуется перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.
В качестве примеров можно вычислить следующие выражения:
Во втором случае в процессе умножения кубических корней была исключена десятичная дробь. В результате знаменатель принял вид произведения чисел 625 и 25. Так как данное число большое, целесообразно выделить точный куб в числителе и знаменателе, чтобы применить одно из ключевых свойств корня n-й степени:
Умножение корней с разными показателями
Равенство справедливо лишь в том случае, когда подкоренные выражения обладают неотрицательными значениями. Примеры решения задач:
Требования к неотрицательным значениям подкоренных выражений связано с разными определениями корней четной и нечетной степени. Они обладают разными областями определения.
Перед умножением корней следует преобразовать подкоренные выражения, чтобы они приняли неотрицательные значения. Например, число \(\sqrt[3]<-5>\) можно избавить от знака минус из-под корня. Дальнейшие действия:
Наиболее правильным и надежным методом умножения корней является следующий алгоритм:
Необходимо упростить выражение:
При одинаковых и нечетных показателях корней сложность в решении задачи заключается в наличии минуса у второго множителя. После вынесения знака минус выражение достаточно легко преобразовать:
Требуется упростить выражение:
В данном случае не получится избавиться от корня полностью, но с помощью стандартного алгоритма действий выражение приобретает упрощенный вид:
Действия с корнями.
Умножение корней с одинаковыми показателями
Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, нужно оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.
√(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45
Умножение корней с разными показателями
Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно сначала привести корни к общему показателю, а потом перемножить полученные корни с одинаковым показателем. Чтобы умножить корень на число, надо занести под знак корня это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.
∛(729) × √(25) =
= √(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45
Деление корней с одинаковыми и разными показателями
Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний.
Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.
Возведение корней в степень
Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
(∛(125)) 2 = (∛(125 2 ))
Извлечение корня из корня
Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить прежним.
Уничтожение иррациональности в знаменателе
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно домножить на одно и то же выражение числитель и знаменатель дроби, пользуясь по мере надобности формулами сокращённого умножения. Если в знаменатетеле дроби корень числа — домножаем на такой же корень, и в знаменателе оказывается само число.
Если в знаменателе дроби сумма/разность корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих корней, и в знаменателе оказывается разность самих чисел.
Если в знаменателе сумма/разность кубических корней двух чисел — домножаем на неполный квадрат разности/суммы этих кубических корней. В знаменателе получается сумма/разность самих чисел.Если в знаменателе неполный квадрат суммы/разности кубических корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих кубических корней. В знаменателе получается разность/сумма самих чисел.