Что будет если логарифм умножить на логарифм

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

[Подпись к рисунку]

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Источник

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

log_a a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log₂16. Поэтому сначала найдем значение log₂16, а затем подставим полученный результат в log₄:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения

Если у нас есть выражение, содержащее логарифмы, то мы можем преобразовать его с учетом свойств этих логарифмов. В этом материале мы рассмотрим основные правила, по которым осуществляется данное преобразование.

В первом пункте приведем основные свойства логарифмов, представив их в виде списка. Далее рассмотрим характерные примеры преобразований с использованием этих свойств. Отдельно остановимся на числовых выражениях и на выражениях с переменными, а также посмотрим, как преобразовывать примеры с использованием модуля.

Свойства логарифмов

log a q b p = log a b p log a a q = p · log a b q = p q · log a b

То же относится и к последнему свойству из списка, выраженному формулой b log a c = C log a c = c log a b : оно тоже может быть выведено из основных свойств. Нужно учитывать, что если у нас есть степень положительного числа с логарифмом в показателе, то мы всегда можем поменять число под логарифмом и основание степени местами. В принципе, на практике такие задачи встречаются не слишком часто, но мы их все же разберем.

Как преобразовать числовое выражение с логарифмом

После того, как мы вспомнили основные свойства логарифмов, покажем, как использовать их при решении задач. Начнем с того, как преобразовывать числовые выражения, потому что такие вычисления считаются более простыми. Возьмем сперва примитивные примеры, с помощью которых легко проиллюстрировать выбор нужного свойства логарифма, а потом будем наращивать сложность задач. В конце разберем задания, в которых нужно использовать сразу несколько свойств.

Как выбрать свойство логарифма для преобразования

Список свойств, приведенный в первом пункте, довольно большой, и очевидно, что нужно хорошо в нем ориентироваться, чтобы получить нужный результат. Обычно выбор делается по итогам сравнения исходного логарифма/выражения с левыми и правыми частями формул, выражающих свойства. В том случае, когда одна из частей формулы похожа на исходный логарифм или выражение, мы берем именно это свойство и выполняем преобразование с его помощью. Покажем на примерах, как именно это делается.

Решение

Далее возьмем примеры с другими свойствами логарифмов.

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и представим исходный логарифм как отношение десятичных логарифмов с известными нам значениями.

log 2 5 = l g 5 l g 2

Считаем: ln 11 ln 3 = log 3 11

Мы разобрали множество примеров, где для осуществления преобразования достаточно применить одну формулу свойства логарифма или его определение. Теперь мы можем перейти к более сложным задачам, в которых нужно последовательно применять несколько свойств, а также делать дополнительные преобразования. Однако перед этим запишем еще один важный пример использования следствий из основных свойств логарифмов.

Решение

Задачи с применением нескольких свойств логарифмов

В действительности чаще встречаются более сложные задания, чем те, что мы разобрали в предыдущем параграфе. В них приходится выполнять преобразования в несколько шагов, применяя последовательно одно свойство за другим. Кроме того, они зачастую включают в себя необходимость раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, сокращать обыкновенные дроби и др. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать правильную последовательность действий.

Решение

Вот все решение без комментариев:

( log 3 15 − log 3 5 ) · 7 log 7 5 = log 3 ( 15 : 5 ) · 5 = = log 3 3 · 5 = 1 · 5 = 5

Решение

Решение

Предварительное преобразование перед применением основных свойств логарифмов

На практике мы часто можем встретить логарифмы, которые внешне не похожи ни на одну часть формулы свойства. Однако при этом преобразование требует применения именно этих формул. Это возможно, если перед этим привести их к соответствующему виду. Это процесс называется тождественным преобразованием.

В роли таких действий могут выступать почти любые преобразования выражений, в том числе раскрытие скобок, вынесение за скобки множителей, применение формул тригонометрии и т.д. Это очевидно, поскольку выражения под знаком логарифма могут содержать практически все, что угодно: модули, скобки, дроби, степени и др. Поэтому нужно уметь выполнять разные виды преобразований, чтобы успешно решать такие задачи.

Данная статья не имеет целью осветить все возможные случаи преобразований, поскольку их очень много. Мы выбрали только четыре, которые наиболее распространены.

Разберем подробно каждый вид преобразования.

Как выделить степень в основании логарифма и под его знаком

Этот пример иллюстрирует нам следующую мысль: если есть возможность, нужно выделить степень в основании и под знаком логарифма, чтобы впоследствии применить свойство логарифма степени. Ниже мы приведем некоторые советы, как именно выделять степени в таких примерах.

Решение

Если исходного числа нет в таблице степеней, то мы можем разложить его на простые множители.

Решение

Выполняем разложение 648 на простые множители.

648 324 162 81 9 3 1 2 2 2 3 3 3

Теперь мы можем преобразовать исходный логарифм произведения в сумму, а потом воспользоваться формулой логарифма степени.

Упрощаем выражение через раскрытие скобок:

Решение

Преобразования, которые нужно сделать, чтобы получить под знаком логарифма нужную степень, могут значительно отличаться от примера к примеру.

Решение

Первое, что нам нужно сделать, – это избавиться от иррациональности в знаменателе первой дроби, лежащей в основании логарифма:

Мы получили результат, схожий с дробью под знаком логарифма. Применим к нему свойства степеней и получим:

Чтобы преобразовать второе выражение, надо воспользоваться тригонометрическими формулами, а конкретно формулой понижения степени cos 2 a = 1 + cos 2 a 2 :

log 2 · cos 1 ( 1 + cos 2 ) 3 = log 2 · cos 1 ( 2 · cos 2 1 ) 3

Как применять свойства степени при преобразовании выражений с логарифмами

Ранее мы уже использовали свойства степеней, чтобы преобразовать выражения под знаком логарифма и его основание. Посмотрим, в каких еще характерных случаях потребуется такая подготовка.

Решение

3 − 2 · 3 log 3 7 = ( 1 9 ) · 7 = 7 9

Посмотрим пример решения такой задачи.

Решение

Вот запись всего решения:

2 log 2 2 3 − 3 log 2 3 = 2 log 2 3 · log 2 3 − 3 log 2 3 = = ( 2 log 2 3 ) log 2 3 − 3 log 2 3 = 3 log 2 3 − 3 log 2 3 = 0

Также встречаются примеры, где предварительная подготовка к использованию свойств логарифмов заключается в применении и свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями, и свойства степени в степени. Например,

Преобразование логарифмов с десятичными дробями

В целом можно сказать, что в случае наличия десятичной дроби под знаком логарифма необходимо выполнить переход к обыкновенной дроби. Это поможет увидеть возможности использования свойств логарифмов.

Разберем подобную задачу.

Решение

Начнем с перехода от десятичных дробей к обыкновенным.

Теперь видно, что мы можем преобразовать 25 4 в виде ( 2 5 ) − 2 и воспользоваться формулой логарифма степени. Вычисляем значение:

Преобразование выражений с отрицательными числами под знаком логарифма

( − 2 ) 6 = ( ( − 1 ) · 2 ) 6 = ( − 1 ) 6 · 2 6 = 1 · 2 6 = 2 6

Решение

Сначала заключим, что данное выражение имеет смысл. Воспользоваться сразу свойством логарифма частного у нас нет возможности из-за отрицательных чисел под знаком логарифма, поэтому выполним преобразования.

Как преобразовать логарифмическое выражение с переменными

В предыдущих параграфах мы разобрали, как работать с числовыми выражениями, содержащими логарифмы. Однако если требуется решить логарифмическое неравенство или уравнение, нам понадобится умение работать с теми случаями, когда под знаком логарифма содержится выражение с переменными. В целом при этом мы руководствуемся теми же принципами, что и с числовыми выражениями, но тут следует отдельно пояснить некоторые нюансы, незнание которых ведет к ошибкам.

Особенности преобразований выражений с переменными

Основная трудность состоит в том, что при работе с такими выражениями числа, расположенные под знаком логарифма и в его основании, должны соответствовать особым условиям, а в случае определенных переменных из области допустимых значений эти условия могут оказаться невыполненными. Приведем один наглядный пример.

Почему надо учитывать область допустимых значений

Важно следить, как меняется область значений во время каждого преобразования. Если на каком-либо этапе происходит ее сужение, это повод тщательно проверить все вычисления и определить, правомерно ли использования данного преобразования.

Чаще всего при решении задач приходится иметь дело с выражениями, область допустимых значений которых не ограничивает применение свойств логарифмов в прямом и обратном порядке, но не следует относиться так ко всем примерам. Нужно всегда проверять, что происходит с областью допустимых значений, и своевременно отслеживать возможные ошибки.

Запишем, в ходе каких преобразований чаще всего происходит непреднамеренное сужение области значений:

Теперь, когда мы обговорили тонкости, на которые нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными с использованием свойств логарифмов, остается разобраться, как правильно эти преобразования проводить.

Правила проведения преобразований

Мы говорили ранее, что чаще всего область допустимых значений позволяет нам применять свойства логарифмов в привычных формулировках.

Решение

На первый взгляд данное выражение нужно преобразовать, используя логарифм степени, то есть сначала вынести нужную степень в виде коэффициента и потом привести подобные слагаемые. Давайте разберемся, правомерно ли применение выбранного свойства в этом случае.

3 · l g ( x + 2 ) 7 − l g ( x + 2 ) − 5 · l g ( x + 2 ) 4 = = 3 · 7 · l g ( x + 2 ) − l g ( x + 2 ) − 5 · 4 · l g ( x + 2 ) = = 21 · l g ( x + 2 ) − l g ( x + 2 ) − 20 · l g ( x + 2 ) = = ( 21 − 1 − 20 ) · l g ( x + 2 ) = 0

Область допустимых значений позволяет нам использовать и другой вариант вычисления, например, такой:

А как быть в случае, если в области допустимых значений нужные условия не будут выполняться? Возьмем соответствующий пример и разберем его.

Решение

Возьмем еще один пример, чтобы закрепить навыки работы с модулями.

Решение

Вычисляем область допустимых значений данного выражения:

А на интервале от одного до двух значение x − 1 будет положительным, а x − 2 и x − 3 – отрицательными. Значит, отрицательные значения нам нужно заключить в знаки модуля. У нас получится, что:

Теперь объединяем получившиеся результаты.

С помощью таких рассуждений и свойств логарифмов отношения, произведения и степени можно вывести несколько результатов, полезных на практике и удобных в использовании:

Решение

На первый взгляд, мы должны взять формулы логарифмов разности, суммы и степени. Давайте посмотрим, насколько правомерно их использование в данном случае. Для начала вычислим область допустимых значений:

Теперь мы можем свободно применить формулу логарифма степени и выполнить приведение подобных слагаемых:

Возможны и другие преобразования, которые дают тот же результат:

Источник