Что будет если модуль возвести в квадрат
Модуль числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Модуль числа — теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?
Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
Ситуация третья
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…
Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Ответ:
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Уравнения с модулем
Что такое уравнение с модулем
Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.
В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.
Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.
Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности
Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.
Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.
Разберем подробное решение квадратного уравнения:
Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:
На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:
Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:
x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4
Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:
Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:
Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:
9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2
Преобразуем сложное уравнение:
На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:
В результате получим:
При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:
Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:
Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:
Рассмотрим несколько иное уравнение:
В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:
Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов
Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:
Примеры решения задач с объяснением
Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.
Рассмотрим в качестве примера:
Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
Согласно первому свойству модуля:
Используя данное правило, решим уравнение:
По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:
Решим следующее уравнение:
Воспользуемся правилом и получим:
При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.
Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:
Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:
Рассмотрим еще несколько примеров.
Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:
Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:
Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.
Рассмотрим пример такого выражения:
Первый модуль имеет вид:
Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:
После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:
По аналогии выполним преобразования второго модуля:
Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.
Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:
Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.
С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.
В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:
В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:
Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:
Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:
Второй корень является решением:
Третий корень также является решением:
Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:
В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.
Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:
Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:
Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:
Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.
Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.
Раскроем сначала внутренние модули:
Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:
Задачи для самостоятельного решения
Найти корни уравнения:
Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:
Найдем корни квадратного уравнения:
В процессе потребуется сократить уравнение на 3:
Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:
Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:
Найти корни уравнения:
Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:
Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:
Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:
Нужно решить уравнение:
С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:
Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:
Корень соответствует определенному ранее промежутку.
Этот промежуток не имеет корней.
Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найдем корни квадратных уравнений:
Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:
Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним
В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.
Что будет если модуль возвести в квадрат
Андрей Баканчев запись закреплена
Частая ошибка в преобразовании логарифмов
При решении уравнений/неравенств мы пользуемся простым свойством логарифма о вынесении степени подлогарифмического выражения (свойство [1] на картинке)
И тут нужно помнить про две важные вещи:
ВЕЩЬ №1. В общем случае при вынесении четной степени необходимо поставить знак модуля у подлогарифмического выражения (свойство [2] на картинке)
Почему? Всё дело в ОДЗ выражения — если модуль не поставить (ситуация [2.1]), то до преобразования выражение в четной степени почти всегда больше нуля, кроме случая, когда оно равно нулю, а после преобразования мы рассматриваем только ситуацию, когда выражение строго больше нуля, а отрицательным оно быть не может. Говорят, что при таком переходе ОДЗ «сужается», что гораздо хуже расширения, поскольку при расширении ОДЗ могут возникнуть посторонние корни, которые можно откинуть проверкой, а при сужении мы можем потерять решения!
ВЕЩЬ №2. Если САМ логарифм находится в квадрате, то прежде чем выносить степень подлогарифмического выражения, необходимо записать логарифм в скобки и уже потом возвести в квадрат, чтобы не допустить ошибку под номером [3]
Смотри на [4], чтобы всё понять.
Не забывай об этих тонкостях, продолжай заниматься математикой и всё будет хорошо!