если теорему так и не смогли доказать она становится аксиомой
Презентация по теме: «Аксиомы стереометрии»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой. Евклид
ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы 1-2 курсы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» –: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). ГЕОМЕТРИЯ
ИЗУЧАЯ СТЕРЕОМЕТРИЮ Мы проведем систематическое рассмотрение свойств геометрических тел в пространстве. Освоим различные способы вычисления практически важных геометрических величин. При этом мы будем развивать пространственное воображение и логическое мышление
Мы знаем, что ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна
Определите: верно, ли суждение? Любые три точки лежат в одной плоскости. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга ДА ДА ДА НЕТ НЕТ НЕТ НЕТ НЕТ
Аксиомы стереометрии Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах
Аксиомы стереометрии А-1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна = (РКС)
Аксиомы стереометрии А-2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. М, C m М, C m, Если то
Аксиомы стереометрии А-3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. М , М , М m m , m = m
Следствия из аксиом Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. м А В Дано: Мm Так как Мm, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости .. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.
Следствие из Т-1 Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести плоскость, и притом только одну. к
Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m . Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно , является искомой Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость . Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости доказана. Теорема доказана Следствия из аксиом
ВЫВОД По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
Подведем итоги урока: 1. Как называется раздел геометрии, изучаемый на 1- 2 курсах? 2. Что такое стереометрия? 3. Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке. А А В α α А α β С В
Домашнее задание: Выучить аксиомы Построить куб Построить параллелограмм
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1590970
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В России выбрали топ-10 вузов по работе со СМИ и контентом
Время чтения: 3 минуты
Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах
Время чтения: 1 минута
В Москве запустили онлайн-проект по борьбе со школьным буллингом
Время чтения: 2 минуты
В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемПетр Наволоцкий
Похожие презентации
Презентация на тему: » Аксиомы стереометрии. Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой. Евклид Выполнила учитель математики МОУ СОШ 31 г Краснодара Шеремета.» — Транскрипт:
1 Аксиомы стереометрии. Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой. Евклид Выполнила учитель математики МОУ СОШ 31 г Краснодара Шеремета И.В.
3 Стереометрия. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая.Плоскость.
4 A, B, C, … a, b, c, … или AВ, BС, CD, …
5 Геометрические тела: Куб. Параллелепипед. Тетраэдр. Октаэдр.
6 Геометрические тела: Цилиндр. Конус. Шар.
7 Геометрические понятия. Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро
8 Аксиома (от греч. axíõma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
9 Аксиомы стереометрии. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А В С
10 Аксиомы стереометрии. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А В
11 Аксиомы стереометрии. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
12 Аксиомы стереометрии описывают: А1.А2.А3. А В С Способ задания плоскости А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей
13 Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. а а М а а а = М а
14 Прочитайте чертеж A С
17 а) две плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB; прямая AC. А С В S D F E Пользуясь данным рисунком, назовите:
18 а) Две плоскости, cодержащие прямую DE. б) Прямую по которой пересекаются плоскости АЕF и SBC. в) Плоскость, которую пересекает прямая SB. S В А С F E D Пользуясь данным рисунком, назовите:
19 S В А С F E D а) Две плоскости, cодержащие прямую EF. б) Прямую по которой пересекаются плоскости BDЕ и SAC. в) Плоскость, которую пересекает прямая AC. Пользуясь данным рисунком, назовите:
20 Домашнее задание: 1)Выучить аксиомы. 2) П. 1,2 3) 1 (в, г); 2(в, г); 6.
21 Комментарий к задаче 6: А В С 1 случай: точки лежат на одной прямой. А В С 2 случай: точки лежат в одной плоскости.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Доказывают ли изначально аксиомы, чтобы потом принимать их на веру?
В википедии прочитал, что
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами[2].
Вот появилась у Евклида идея, он потестил ее, смотрит, всегда сходится, и потом заявляет, что это Аксиома? А как же доказательство?
Извиняюсь, за глупые вопросы, но, все же интересно стало, как это так получается.
Нет, все именно так, как написано в вики.
Более того может быть несколько различных наборов аксиом (см. геометрия Лобачевского), которые приводят к разным результатам. Но они все правильные и подходят для разных случаев.
Ну, и дальше опытным путем выясняют, что аксиомы, например, арифметики неплохо соответствует тому что происходит с предметами в реальном мире.
Аксиомы доказать невозможно. Но можно сделать одну классную вещь. А именно — построить модель теории. Другими словами: найти в соседней теории, которой вы «доверяете» (например, теории действительных чисел или евклидовой геометрии) такие «точки» и «прямые», чтобы они отвечали всем аксиомам. И эти аксиомы нужно доказывать, чтобы показать, что, например, R² с «точками» (x,y) и «прямыми» ax+by+c=0 — действительно модель евклидовой геометрии.
Да, и математики часто, но некорректно говорят: «Векторное пространство — это совокупность из основного множества X, числового поля K, операций x+y и x·k такая, что отвечает аксиомам…» Вообще-то, требованиям, а не аксиомам, и эти «аксиомы» нужно доказывать, чтобы доказать, что, например, R² — векторное пространство над полем R.
Да, а что же Евклид? А Евклид, вероятно, сам не догадывался, какую классную штуку он придумал. К тому же исчерпывающую аксиоматику евклидовой геометрии придумали ≈1900. Страшна, как чёрт, шесть базовых понятий… Но это зачастую и не требуется, чтобы решать задачи — надо как-то определить объект изучения и начать доказывать теорему за теоремой. Большинство из нас, даже выпускники вуза, не знают ни теорию действительного числа, ни аксиоматику Пеано для арифметики, ни аксиоматику для теории множеств…
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные.
Так ли точна математика, как кажется?
Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.
Вместо предисловия
Каждый из нас в школе не сомневался в справедливости тех или иных математических утверждений. Ну и правда, что учитель сказал, то и истина. Но, познакомившись со строгой математикой (не люблю слово «высшей»), мы начали понимать, что чем больше мы стараемся формализовать предмет, тем сложнее это сделать, а иногда совсем не получается.
Так нам привычные действительные числа, для Леопольда Кронекера не являлись таковыми, он говорил: «Бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»)
После того, как Георг Кантор доказал, что отрезок равномощен (А и B равномощны, если существует биекция между ними) n-мерному пространству, он провозгласил: «Я вижу это, но я не верю в это!» («Je le vois, mais je ne le crois pas!»)
Немного философии
Речь в этой статье пойдет об аксиоматике тех или иных математических множеств, операций и т.д., но все же закономерным вопросом будет, а зачем нам аксиомы вообще нужны? Приведу простой пример. Возьмем русский язык и слово, например, «дежавю». Посмотрим его значение, «Дежавю́ — психическое состояние, при котором человек ощущает, что он когда-то уже был в подобной ситуации». Но мы дотошные, посему теперь вместо одного слова перед нами возникнет куда больше. Что такое «психический», «состояние», «человек», «ощущать», «подобный», «ситуация». Как вы можете заметить, у нас получается дерево слов, а в силу того, что слов, имеющих значение в русском языке конечное множество, у нас получится путь в дереве, в котором встречается дважды одно и то же слово, т.е. мы определили его через самого себя.
Вот для этого и нужны аксиомы. Нам всегда нужен фундамент, с которого мы можем стартовать, что-то, что и так всем интуитивно понятно. Неточность 1. В математике часто бывают утверждения, интуитивно понятные, но приводящие к парадоксам. Например аксиома выбора(Axiom of Choice), но об этом мы поговорим чуть позже.
Больше конкретики. Аксиомы Пеано натуральных чисел.
Я, как программист, люблю считать, что 0 принадлежит натуральным числам, это удобно. Что-ж, теперь наиболее знаменитая аксиоматика Пеано.
1. 0 является натуральным числом.
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом.
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c совпадают.
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Разберемся по-порядочку.
1-я аксиома говорит, что существует хотя бы одно натуральное число. Иначе бы мы сказали, что это вообще пустое множество и все аксиомы бы для него выполнялись бы.
2 и 3 вроде бы и так ясны.
4. Эта аксиома нужна для того, чтобы не появились «ответвления». Иначе мы могли бы сказать, что 3 следует за 2 и 2′, а дальше 2 и 2′ за 1 и 1′ соответственно, и т.д. В принципе, такая модель имеет право на существование, но на ней крайне сложно ввести отношение порядка.
5. Первый человек в очереди женщина. За каждой женщиной идет женщина. В реальной жизни это значит, что вся очередь состоит из женщин. А так как мы хотим описывать все же более жизненные объекты, то и вводим аксиому индукции, ибо из предыдущих она никак не следует.
Удобная модель, все отлично, все счастливы. Вопрос, в чем же подвох? Оказывается, что если мы добавим новое натуральное число с к нашим привычным натуральным числам и скажем, что оно больше всех наших привычных, то мы не придем ни к какому противоречию. Т.е. у нас есть не только наша модель N, но и, к примеру, N + Z. Где в N и Z (целые числа) обычное сравнение чисел, а также любое число из N меньше любого числа из Z.
Вопрос, можно ли ввести аксиомы так, чтобы мы описали наши привычные натуральные числа, и только их (т.е. существует ли формула, подставив в которую естественное натуральное число она выдаст True, а любое другое число False)? Ответ — нет. Идея доказательства в том, что все формулы можно закодировать натуральными числами. А далее, написав хитрую формулу, и подставив ее код в Ф (формула, которая по предположению умеет определять естественную натуральность), мы получим противоречие.
Больше конкретики. Аксиоматика множеств Цермело-Френкеля (ZF)
1. Аксиома объемности. Если два множества состоят из одинаковых элементов, то они равны.
2. Аксиома подмножеств. Если у нас есть некоторая формула, то из любого множества она «вырезает» также множество.
3. Аксиома замены. Если для каждого мн-ва х, F(x) = также является множеством, то для любого а, — также множество.
4. Аксиома степени. Множество подмножеств также является множеством.
5. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое содержит пустое множество, а также вместе с каждым элементом x содержит множество <
6. Аксиома регулярности. Не существует бесконечных по включению цепочек множеств, т.е. нельзя, чтобы множество a1 сожержало a2, то в свою очередь a3, и т.д.
Противоречия и парадоксы
Во-первых, не доказано, что аксиомы ZF непротиворечивы, если же они противоречивы, то можно вывести любое утверждение, например 0 = 1, и грош цена нашей науке. Даже более, доказано, что нельзя доказать непротиворечивость ZF. Забавная штука получается, но в этом нет ничего страшного. Если мы чего-то не можем доказать, не значит, что этого нет, в данном случае непротиворечивости. Движемся дальше.
Математика получается достаточно скупой наукой, то есть мало всего можно доказать, если не добавить аксиому выбора. А что это за аксиома такая? В трех словах — из любого непустого множества можно выбрать элемент. Казалось бы, очень естественная аксиома, но она приводит к парадоксу Банаха-Тарского, заключающегося в том, что шар можно разбить на 5 кусков и собрать из них 2 таких же шара. Т.е. яблоко можно разрезать на 5 частей и собрать два яблока?! Посему и парадокс. Что еще интереснее, доказано, что если теория ZF непротиворечива, то добавив к ней аксиому выбора (ZF + Axiom of Choice = ZFC) мы получим непротиворечивую аксиоматику!
Искорка надежды
То мы что-то не можем доказать, то какие-то парадоксы. Может, математика — полная чушь? Может не следует ее изучать? Ответ: никакая не чушь, изучать следует. Почему же, спросит читатель. Я приведу достаточно физическое доказательство. Обычно в физике бывает так. «Ого, в течении 100 лет мы наблюдали за падением бутербродов и оказалось, что они падают маслом вниз, назовем это законом». Думаете, шучу? А попытайтесь доказать, что тела состоят из молекул. Ничего более строгого, чем то, что в течение 2000 лет эта теория не давала сбой, вы не придумаете. Так вот с математикой примерно та же ситуация. Мы используем ее, вроде бы машины едут, самолеты летят, здания стоят и все хорошо. Интуитивно ясно, что если бы в математике было противоречие, то, чем глубже бы мы копались в дебрях этой науки, тем легче бы были доказательства теорем, но такого не происходит.
И все же, откуда парадокс Банаха-Тарского возникает, все же достаточно логично! На самом деле, если аккуратно заметить, то во Вселенной нет ничего бесконечного. Нет ничего бесконечно малого и т.д. Просто удобно работать с бесконечными множествами. Так что вполне нормально, что могут получаться результаты не применимые к жизни.