ТЕМА 1. Множества и функции.

Ограниченное сверху (снизу) множество

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

Сложная функция (суперпозиция функций)

Точной верхней гранью непустового числового множества X называется число , если для всех выполняется x≤ и для любого ε>0 найдется , для которого .

Точной нижней гранью непустового числового множества X называется число , если для всех выполняется и для любого ε>0 найдется , для которого .

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана аналитически в явном виде с помощью одной формулы, содержащей конечное число арифметических операций и операций суперпозиции над основными элементарными функциями.

ТЕМА 2. Предел и непрерывность функции одной переменной.

Бесконечно малая функция

Интерполяционный многочлен для функции

Предел функции в точке

Предел числовой последовательности

Точка разрыва функции

Функция, непрерывная в точке

Числовая последовательность (последовательность)

ТЕМА 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Дифференциал df(x₀) функции f(x) в точке x₀ записывается .

Производная функции в точке (Производная первого порядка функции)

Производной функции f(x) в точке x₀ называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Δx при стремлении Δx к нулю:

Производная функции порядка n

Функция, дифференцируемая в точке

Эластичность функции f в точке x называют число, обозначаемое и равное пределу отношения относительного изменения функции к относительному изменению аргумента при уcловии стремления последнего к нулю, то есть

ТЕМА 4. Использование производных для исследования функции и построения ее графика.

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, если расстояние от точки, лежащей на графике, до прямой стремится к нулю при бесконечном удалении этой точки от начала координат.

Существуют два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Точка перегиба функции

Точка строгого максимума (минимума) функции

Функция, выпуклая вниз (вверх)

ТЕМА 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Градиентом функции f(x, y) в точке M₀(x₀, y₀) называется вектор .

Дифференцируемая функция двух переменных

Матрица Гессе функции

Пусть функция f(x₁, x₂. x_n) имеет все частные производные второго порядка в точке , тогда матрица

называется матрицей Гессе функции f в точке .

Неявная функция одной переменной

Ограниченная функция n переменных

Однородная функция степени p

Предельная точка множества

Производная по направлению

Расстоянием в R n между точками x=(x₁, x₂. x_n) и y=(y₁, y₂. y_n) называется число .

Смешанной производной функции называют частную производную функции высшего порядка, если хотя бы две переменные из числа тех, по которым берется производная, различны.

Стационарной точкой функции f называется точка M₀ при условии, что grad f(M₀)= .

Точка максимума (минимума) функции n переменных

Точка условного максимума (минимума) функции относительно уравнения связи

Функция, выпуклая вверх (вниз)

Функция n переменных

Функция n переменных, непрерывная в точке

Пусть функция f(x₁, x₂. x_n) определена на множестве , и точка является предельной точкой этого множества и принадлежит ему. Функция f(x₁, x₂. x_n) называется непрерывной в точке , если .

Частные производные первого порядка

Пусть функция f(x₁, x₂. x_n) определена в некоторой окрестности точки . Зафиксируем значения переменных . Тогда функция f(x₁, x₂. x_n) превратится в функцию одной переменной Если существует производная функции g(x₁) в точке , то она называется частной производной первого порядка функции f по переменной x₁ в точке .

ТЕМА 6. Неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл от функции

Множество всех первообразных функций f(x) на (a, b) называют неопределенным интегралом от этой функции на (a, b) и обозначают

Первообразная функции на интервале

ТЕМА 7. Определенный интеграл.

Определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке [a,b] − числовая характеристика данной функции на рассматриваемом отрезке (строгое определение см. в § 7.1).

Средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] называется значение .

Сходящийся (расходящийся) несобственный интеграл на бесконечном промежутке интегрирования

Сходящийся (расходящийся) несобственный интеграл неограниченной функции на конечном промежутке интегрирования

ТЕМА 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение , где μ ≠ 1, 0.

Интегральной кривой дифференциального уравнения называют график решения этого дифференциального уравнения.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение , в котором q(x) 0.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

ТЕМА 9. Числовые и функциональные ряды.

Абсолютно сходящийся числовой ряд

Знакопеременный числовой ряд

Под знакопеременным числовым рядом понимается числовой ряд, среди членов которого есть как положительные, так и отрицательные числа.

Радиус сходимости степенного ряда

Разложение функции в степенной ряд

Расходящийся (сходящийся) числовой ряд

Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд

Рядом Тейлора функции f(x) с центром в точке x₀ называется ряд

Степенным рядом с центром в точке x₀ называется ряд вида .

Cуммой числового ряда называется конечный предел последовательности частичных сумм .

Условно сходящимся числовым рядом называется знакопеременный числовой ряд , при условии что этот ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин членов ряда , расходится.

Источник

Линейные неравенства (ЕГЭ 2022)

Раз уж ты читаешь эту тему, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».

Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.

Без усвоенной этой темы спокойное плавание в линейных неравенствах не гарантировано.

А если тебе все с ними понятно, вперед, покорять неравенства.

Линейные неравенства — коротко о главном

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

где \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – любые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\); \( \displaystyle x\) — неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак \( \displaystyle >\) на знак \( \displaystyle 12\)

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на \( \displaystyle 3\) и получаем:

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем \( \displaystyle 4\) яблока.

Ну вот и справились с неравенством! Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.

Определение линейного неравенства:

Линейные неравенства — это неравенства вида:

Источник

78. Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность называется Ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

Т. е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность называется Ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность называется Ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Пример. = n – ограничена снизу <1, 2, 3, … >.

Определение. Число А называется Пределом последовательности , если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность Сходится к а при n®¥.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т. е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: = 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т. е. lim = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела a и b, не равные друг другу.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

Теорема. Если Xn ® A, то .

Доказательство. Из Xn ® A следует, что . В то же время:

, т. е. , т. е. . Теорема доказана.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьНе имеет предела, хотя

Источник

Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.

Рассмотрим другое неравенство.

Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

Источник

Как записать ответ неравенства

Впрочем, мы рекомендуем освоить запись ответа неравенства в математических обозначениях сразу, так как в любом случае в старшей школе и затем в университете будут требовать именно такую запись ответа.

Перед разбором, как записывать ответ неравенства математическими знаками, вспомним расшифровку и обозначение этих знаков.

Перейдем к непосредственной записи ответа неравенства. Рассмотрим и решим линейное неравенство.

Мы решили линейное неравенство, теперь запишем его ответ с помощью математических знаков.

Перед тем, как записывать ответ неравенства, обязательно изобразите его на числовой оси.

Итак, мы изобразили ответ неравенства на числовой оси. После этого запишем слово «Ответ:» и за ним запишем « x ∈ ». Такая запись читается как «икс принадлежит».

Взглянув на рисунок ответа на числовой оси, мы видим, что область решений начинается с числа « 14 ». Число « 14 » не входит в область решений («пустая» точка на оси). Значит, используем круглую скобку.

Нам остается понять, где заканчивается область решений справа. Правильный ответ — справа область заканчивается в положительной бесконечности « + ∞ ».

На числовой оси на обоях краях слева и справа соответственно расположены «минус» и «плюс» бесконечности. Как правило, их не рисуют на числовой оси лишний раз, т.к. их наличие на оси подразумевается.

Запишем окончательный ответ.

Знаки « + ∞ » и « − ∞ » всегда записываются с круглыми скобками.

Разберем другой пример.

Также как и в предыдущем примере всегда начинаем записывать
ответ с записи « x ∈… ».

В ответе « x ≤ 8 » область решений начинается с « − ∞ » и заканчивается на « 8 », которое входит в ответ. Значит, « 8 » будет с квадратной скобкой. Так и запишем в ответе.

Запись ответа неравенства для квадратных неравенств

При решении квадратных неравенств часто может получаться несколько интервалов в ответе. Разберемся, как их записывать в ответ. Рассмотрим пример квадратного неравенства и его решение.

x 2 − 3x + 2 3 2 − 4 · 1 · 22 · 1

x_1;2 =

Рассмотрим другой пример квадратного неравенства и его решения.

x_1;2 =

x_1;2 =

В ответе неравенства мы получили два интервала в области решений
(x ≤ −1; x ≥ 3) и оба интервала нужно записать в ответ. Запись ответа неравенства всегда делается слева направо (как мы привыкли читать).

Начнем слева направо записывать интервалы в ответ. Первый интервал начинается с «минус» бесконечности и заканчивается на « −1 » (включительно). Так и запишем.

Второй интервал начинается с « 2 »(включительно) и заканчивается на «плюс» бесконечности. Для объединения интервалов используем знак « ∪ » («объединение»).

Источник