Икс модуль что это
Как решать уравнения с модулем: основные правила
Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.
Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)
Немного теории
Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.
Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:
Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.
График модуля и пример решения уравнения
Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой
Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)
Основная формула
Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?
Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:
\[\left| f\left( x \right) \right|=a\]
Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.
\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
\[2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\]
Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.
Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:
\[2x+1=-5\Rightarrow 2x=-6\Rightarrow x=-3\]
Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.
Избавление от знака модуля
\[\left| f\left( x \right) \right|=a\Rightarrow f\left( x \right)=\pm a\]
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого
\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:
Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:
Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:
Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.
Случай переменной правой части
А теперь рассмотрим вот такое уравнение:
Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.
А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».
\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\Rightarrow \left\< \begin
Применительно к нашему уравнению получим:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\< \begin
Поэтому решим-ка само уравнение:
Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:
Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:
\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\]
И решается оно точно так же:
С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:
Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:
Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:
Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:
Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.
Уравнения с двумя модулями
Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:
\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\]
Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.
Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:
\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\Rightarrow f\left( x \right)=\pm g\left( x \right)\]
Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.
Давайте попробуем решать вот такую задачу:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]
Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left( 2x-7 \right)\]
Рассмотрим отдельно каждый случай:
Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:
\[2x+3=-2x+7\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\]
Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)
Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:
Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:
Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.
Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:
\[\left| x-1 \right|=\left| <
Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)
В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:
Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)
Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:
\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:
Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[\left[ \begin
Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)
Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)
Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.
Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.
В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:
Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:
А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:
\[x-<
\[<
Метод расщепления
Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:
Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.
\[3x-5 \gt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=3x-5\]
Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:
\[3x-5=5-3x\Rightarrow 6x=10\Rightarrow x=\frac<5><3>\]
\[x=\frac<5><3>\Rightarrow 3x-5=3\cdot \frac<5><3>-5=5-5=0\]
\[3x-5 \lt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=5-3x\]
Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:
\[3x-5 \lt 0\Rightarrow 3x \lt 5\Rightarrow x \lt \frac<5><3>\]
Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:
\[3x-5=0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=0\]
\[0=3x-5\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac<5><3>\]
Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:
Объединение корней в уравнениях с модулем
Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:
Разбиение числовой оси на интервалы с помощью точек
Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:
Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.
На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.
На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)
Модуль числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Уравнения с модулем
Что такое уравнение с модулем
Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.
В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.
Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.
Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности
Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.
Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.
Разберем подробное решение квадратного уравнения:
Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:
На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:
Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:
x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4
Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:
Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:
Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:
9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2
Преобразуем сложное уравнение:
На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:
В результате получим:
При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:
Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:
Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:
Рассмотрим несколько иное уравнение:
В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:
Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов
Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:
Примеры решения задач с объяснением
Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.
Рассмотрим в качестве примера:
Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
Согласно первому свойству модуля:
Используя данное правило, решим уравнение:
По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:
Решим следующее уравнение:
Воспользуемся правилом и получим:
При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.
Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:
Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:
Рассмотрим еще несколько примеров.
Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:
Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:
Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.
Рассмотрим пример такого выражения:
Первый модуль имеет вид:
Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:
После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:
По аналогии выполним преобразования второго модуля:
Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.
Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:
Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.
С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.
В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:
В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:
Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:
Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:
Второй корень является решением:
Третий корень также является решением:
Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:
В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.
Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:
Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:
Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:
Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.
Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.
Раскроем сначала внутренние модули:
Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:
Задачи для самостоятельного решения
Найти корни уравнения:
Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:
Найдем корни квадратного уравнения:
В процессе потребуется сократить уравнение на 3:
Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:
Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:
Найти корни уравнения:
Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:
Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:
Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:
Нужно решить уравнение:
С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:
Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:
Корень соответствует определенному ранее промежутку.
Этот промежуток не имеет корней.
Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найдем корни квадратных уравнений:
Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:
Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним
В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.