Изобразите график какой нибудь непрерывной функции зная что

О НОВОЙ ФОРМЕ ПРОВЕДЕНИЯ
ВЫПУСКНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

Решение четвертых заданий варианта

Среди четвертых заданий, в основном, представлены два типа: описание свойств функции по ее данному графику и изображение графика функции по ее описанию. Некоторые из этих заданий могут быть рассмотрены при повторении свойств функций еще до знакомства с исследованием функций с помощью производной.

При определении свойств функций по их графикам ответы предполагаются приближенными, однако, в записи это отражать не обязательно.

13. Функция y = f(x) задана своим графиком. Укажите:

а) область определения функции;
б) при каких значениях x функция y не имеет производной;
в) при каких значениях x f ‘(x) 0;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) в какой точке графика касательная к нему параллельна оси абсцисс.

а) область определения функции: [ – 3,5; 6];
б) функция не имеет производной на концах промежутка [ – 3,5; 6] и в его внутренней точке x = – 1,5;
в) f ‘(x) 0 при – 1,5

37. Функция y = f(x) задана своим графиком. Укажите:

а) область определения функции;
б) при каких значениях x f(x) Ј 0,5;
в) точки экстремума функции;
г) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
д) наибольшее и наименьшее значение функции.

а) область определения функции: [ – 3,5; 5];
б) f(x) Ј 0,5 при x = 1,5 и при 4 Ј x Ј 5;
в) точки экстремума функции: x = – 1,5 и x = 3,5 – точки максимума, x = 1,5 – точка минимума;
г) промежутки возрастания: [ – 3,5; – 1,5] и [1,5; 3,5], промежутки убывания: [ – 1,5; 1,5] и [3,5; 5];
д) наибольшее значение функции 5,5; наименьшее: – 3.

Построение графика, обладающего заданными свойствами

При выполнении этих заданий полезно придерживаться следующей схемы. Сначала по информации, содержащейся в пунктах а) и б), выделить прямоугольник, в котором заключен искомый график, затем обозначить промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функции, отметить известные точки графика, и только затем провести искомую кривую.

3.4. Изобразите график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 3; 4];
б) значения функции составляют промежуток [ – 2; 5];
в) в левом конце области определения функция принимает наибольшее значение;
г) 2 – единственная точка экстремума функции.

Ответ. График может выглядеть, например, так, как показано на рисунке.

В пункте в) не утверждается, что функция только в левом конце области определения принимает свое наибольшее значение. Так, например, данная функция «имеет право» принять свое наибольшее значение и в правом конце области определения. Чтобы исключить эту возможность, пункт в) должен звучать так: «свое наибольшее значение функция принимает в левом конце области определения».

6. Изобразите график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 5; 2];
б) значения функции составляют промежуток [– 2; 5];
в) промежутки убывания функции [– 5; – 2] и [0; 2];
г) функция возрастает на промежутке [– 2; 0];
д) отрицательные значения функция принимает только в точках промежутка (1; 2].

15. Изобразите график функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 2; 5];
б) значения функции составляют промежуток [– 5; 3];
в) производная функции положительна на (2; 5), отрицательна на (– 2; – 1) и на (– 1; 2);
г) нули производной функции: – 1 и 2;
д) нули функции: 0 и 3.

Ответ:

Комментарий. В условии не сказано, что функция непрерывна, однако, поскольку во всех внутренних точках области определения функция имеет производную, «оторваться» могут только «крайние» точки. Но можно изобразить и график непрерывной функции. Знаки производной позволяют определить промежуток убывания [ – 2; 3] и возрастания [3; 5]. В точке x = 3 функция имеет минимум. При переходе через свой нуль при x = – 1 производная не меняет знак. Можно (хотя и вряд ли целесообразно) изобразить график разрывной функции, обозначив «выколотые» точки кружочками.

70. Изобразите график функции y = f(x), зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [– 5; 4];
б) значения функции составляют промежуток [ – 4; 5];
в) f ‘(x) > 0 для любого x из промежутка ( – 1; 2), f ‘(x)

Ответ.

Комментарий. В пункте в) по сути сказано, что при x = – 1 производная функции не существует (поскольку ни положительное, ни отрицательное, ни нулевое значение она в этой точке не принимает). Функция в этой точке может, например, иметь разрыв.

Нахождение производной данной функции

В этих заданиях применяются формулы производных и правила дифференцирования.

5. Найдите производную функции f(x) = 2x 2 + tgx.

Решение.

Угловой коэффициент касательной

В части четвертых заданий фигурирует угловой коэффициент касательной к графику функции. Поскольку он равен значению производной, то решение сводится к нахождению производной по формулам и вычислению ее значения.

11. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = x – lnx в его точке с абсциссой x = 3.

Решение.

Ответ:

22. Дана функция f(x) = 2x 2 – x + 1. Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен 7.

24. Дана функция Найдите координаты точек ее графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

Решение. Касательная, проведенная к графику функции в некоторой его точке, параллельна оси абсцисс, если:

1) ее угловой коэффициент (значение производной в этой точке) равен нулю,

2) эта точка не лежит на оси абсцисс,

Ответ:

67. Найдите производную функции f(x) = x 3 lnx.

Промежутки возрастания, убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания или убывания функции используются достаточные условия – на промежутке, где производная больше нуля, функция возрастает, где меньше нуля – убывает. Следует помнить, что если, например, производная больше нуля на (a; b), а функция непрерывна на [a; b], то промежуток ее возрастания [a; b].

При выполнении таких заданий, сначала находим производную данной функции, затем определяем, на каких промежутках она принимает положительные, а на каких отрицательные значения, и, наконец, записываем промежутки возрастания и (или) убывания.

16. Найдите промежутки возрастания функции f(x) = 3x 3 – 3x 2 + 5.

Поскольку f(x) – непрерывная функция, она возрастает на промежутках

Ответ:

Комментарий. Решение неравенства fR(x) > 0 можно было записать как объединение числовых промежутков: . Однако аналогичная запись промежутков возрастания функции является ошибкой, уже в силу своей бессмысленности – определения возрастания функции на объединении промежутков не давалось.

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Стандартный способ нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке заключается в вычислении ее значений на концах промежутка и в критических точках внутри промежутка с последующим выбором наибольшего и наименьшего из них. Однако, когда заданная функция является квадратичной, можно использовать полученные в основной школе знания ее свойств.

20. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 3x 2 + 18x + 7

на промежутке [ – 5; – 1].

Решение 1. Найдем критические точки функции: f ‘(x) = (3x 2 + 18x + 7) ‘ = 6x + 18.

Производная существует при всех значениях x.

f ‘(x) = 0, 6x + 18 = 0, x = – 3 – единственная критическая точка внутри заданного промежутка [ – 5; – 1].

f( – 5) = 2, f( – 1) = – 8, f( – 3) = – 20 – наименьшее значение.

Решение 2. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а наименьшее значение функции равно ординате вершины параболы. Вершина имеет абсциссу, равную Число – 3 входит в заданный промежуток, значит, наименьшее значение функции на промежутке [ – 5; – 1] равно f( – 3) = – 20.

Решение пятых заданий варианта

В пятых заданиях продолжается начавшаяся в четвертых заданиях линия производных. Добавляются задачи на нахождение первообразных и вычисление площадей криволинейных трапеций.

Комментарий. Обосновать возрастание функции можно, опираясь на свойства неравенств: из обеих частей неравенства с положительными членами можно извлечь квадратные корни: Рассматривая a и b как произвольные значения аргумента функции , получаем, определение возрастающей функции: x₁ > x₂ Ю f(x₁) > f(x₂).

Решение. y = 3x + 2 – возрастает, как линейная функция с положительным угловым коэффициентом, y = – 5x + 9 – убывает как линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом, y = x 2 – возрастает при x і 0.

15. Найдите точки экстремума функции f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 1.

Решение. f ‘(x) = (2x 3 – 3x 2 – 1) ‘ = 6x 2 – 6x. Производная существует при всех значениях x, значит в точках экстремума она равна нулю: 6x 2 – 6x = 0, x(x – 1) = 0, критические точки x = 0 и x = 1.

При переходе через 0 производная меняет знак с « + » на « – », значит 0 – точка максимума. При переходе через 1 производная меняет знак с « – » на « + », значит, 1 – точка минимума.

Ответ: Точка максимума x = 0, точка минимума x = 1.

Задания с использованием понятия первообразной

1. Найдите все первообразные функции f(x) = x 4 + 3x 2 + 5.

Ответ:

Комментарий. Можно записать ответ иначе:

Любая из первообразных имеет вид:

Решение. Нужно найти все первообразные функции f(x).

Ответ:

В некоторых заданиях из множества первообразных нужно выбрать ту, график которой проходит через заданную точку.

21. Найдите первообразную функции f(x) = 3x – 5, график которой проходит через точку (4; 10).

График искомой первообразной проходит через точку (4; 10), значит, F(4) = 10,

Ответ:

28. Является ли функция F(x) = x 3 + 3x – 5 первообразной для функции f(x) = 3(x 2 + 1)?

Решение 1. Найдем производную функции F(x). Если она совпадет с даной функцией f(x), то F(x) – первообразная f(x), если нет – не первообразная.

Решение 2. Любая первообразная для f(x) имеет вид

Взяв С равным – 5, получим F(x).

32. Является ли функция F(x) = x 4 – 3x 2 + 1 первообразной для функции f(x) = 4x 3 – x 2 + x?

Ответ: F(x) не является первообразной для f(x).

Площадь криволинейной трапеции

При выполнении заданий следует изображать криволинейную трапецию.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x 2 + 5x + 6, прямыми x = – 1, x = 2 и осью абсцисс.

Изобразим криволинейную трапецию.

Найдем какую-нибудь первообразную функции f(x) = x 2 + 5x + 6:

Найдем площадь криволинейной трапеции как приращение этой первообразной:

Комментарий.
В этой задаче достаточно схематического изображения соответствующей параболы – по графику, собственно, нужно увидеть, что на промежутке [ – 1; 2] функция f(x) принимает только положительные значения. Для этого в данном случае проще всего указать корни.

Источник