Известно что а множество учащихся увлекающихся историей

Практический курс по «Теории множеств»

Практический курс по разделу математики «Теория множеств» содержит упражнения для аудиторной работы и задачи для самостоятельного решения дома.

Содержимое разработки

Множества. Элементы множества.

2. Найти пересечение, объединение и разность множеств:

3. Пусть множество А = ]-; 10], а множество B = [-8;8]. Найти разность множеств А\В.

4. Чему равно число всех подмножеств множества С = <1,3,0,7,9,5,4,6>?

5. Пусть А – множество делителей числа 15.

В – множество делителей числа 6.

С – множество чётных чисел меньших 9.

Найти А U В, А U С, B U C.

6. Пусть А – множество чисел кратных 3, но меньше 18.

В – множество делителей числа 18.

С – множество нечётных чисел меньших 20.

Найти А U В, А ∩ С, B U C.

7. Записать и изобразить в виде отрезков следующие множества:

а) <x|xR и 2x

i) R и 2

b) <x|xR и 2≤x≤5>;

f) <x|xR и 2≤x>;

c) <x|xR и 2≤x

g) <x|xR и x2>;

d) <x|xR и 2x≤5>;

h) <x|xR и x≥2>;

8. Задать перечислением элементы множества всех положительных делителей числа 36. Можно ли задать таким способом множество всех чисел, кратных 36?

9. Определить отношение между множествами:

10. В чём ошибочность следующих формулировок:

а) если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в В;

b) если два множества содержат одни и те же элементы то они равны?

Как исправить эти формулировки?

11. Построить диаграмму Венна для трёх множеств А, В, С, если известно, что А⊏В и В⊏С. В каком отношении находятся множества А и С?

12. Изобразить с помощью диаграммы Венна отношения между множествами:

а) целых, рациональных и вещественных чисел;

b) ромбов, прямоугольников, параллелограммов, квадратов.

13. В группе из 100 туристов, 70 человек знают английский язык, 45 человек знают французский, 23 человека знают оба эти языка. Сколько человек в группе не знают этих языков.

14. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже 5 получили 180 человек, выдержали экзамен 210 абитуриентов. Сколько абитуриентов получили оценку 5? Сколько оценку 2? Сколько 3 и 4?

15. Было 30 невест. Из них воспитанных 21, 18 красивых, умных 15, воспитанных и красивых 11, красивых и умных 7, умных и воспитанных 9. Сколько среди них воспитанных, красивых, умных?

Ответы к упражнениям

Множества. Элементы множества.

1. Найдите пересечение множеств А и В если:

2. Из каких элементов состоит пересечение и объединение множеств букв в словах «математика» и «геометрия»?

3. Из 40 учащихся класса 34 – выписывают газету, 23 – журнал, 17 учащихся и газету и журнал. Есть ли в классе учащиеся, которые не выписывают ни журнал, ни газету?

4. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 – занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секциях?

5. Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17 – немецкий. Сколько человек изучают оба языка?

6. Из 100 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий – 50 человек, французский – 41. Английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12. Сколько студентов изучают все три языка?

7. Из 100 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий – 50 человек, французский – 41. Английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12. Все три языка изучают четверо. Сколько студентов изучают только один язык?

8. В лыжной, хоккейной и конькобежной секциях занимаются 38 человек. В лыжной секции занимается 21 человек, среди которых 3 человека занимаются ещё в конькобежной секции, 6 человек ещё в хоккейной секции и 1 человек занимается одновременно во всех трёх секциях. В конькобежной секции занимается 13 человек, среди которых 5 человек занимаются одновременно в двух секциях. Сколько человек занимаются в хоккейной секции?

9. В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием 25, ходят на лыжах 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом – 15, баскетболом и лыжами – 16, плаванием и лыжами 18 человек. Один из учащихся освобождён от занятий по физкультуре. Сколько человек занимаются всеми указанными видами спорта?

10. За границу выехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знают ни немецкий, ни французский. 75 знают немецкий язык, 83 – французский. Сколько туристов владеют обоими иностранными языками?

11. Из группы в 1000 студентов, занимающихся естественными науками, 630 студентов посещают лекции по крайней мере одного курса по биологии, 390 – по химии и 720 – по математике. Известно также, что 440 студентов посещают и математику и биологию, 250 – математику и химию, 200 – биологию и химию. Кроме того, известно, что 130 студентов посещают лекции по всем 3-м предметам. Сколько из 1000 студентов не посещают ни биологии, ни химии, ни математики? Сколько студентов посещают только один из 3-х предметов? Сколько студентов посещают ровно 2 предмета?

12. Из группы в 98 студентов, занимающихся спортом, 63 ходят в секцию самбо, 39 – в секцию каратэ и 72 в секцию гимнастики. Известно также, что 44 посещают и самбо и гимнастику, 25 – каратэ и гимнастику, 20 – самбо и каратэ. Сколько человек посещают 3 секции одновременно?

13. В некотором ареале имеется 100 сосуществующих видов животных. Из них 80 видов питаются днём и 30 видов питаются ночью. Сколько видов питаются только днём? Сколько видов питаются и днём и ночью?

14. В группе 10 человек. Из них трое увлекаются живописью, 5 – историей, 4 – литературой. 2 – одновременно и живописью и историей, 2 – живописью и литературой, 3 – литературой и историей. 1 увлекается и живописью, и историей, и литературой. Сколько человек увлекаются лишь чем-то одним?

15. Из 6 человек в группе трое увлекаются живописью, 5 – историей, 4 – литературой. 2 – одновременно и живописью и историей, 2 – живописью и литературой, 3 – литературой и историей. Есть ли среди них такие, которые увлекаются сразу и живописью, и историей, и литературой и сколько их?

16. В группе 10 человек. Из них трое увлекаются живописью, 5 – историей, 4 – литературой. 2 – одновременно и живописью и историей, 2 – живописью и литературой, 3 – литературой и историей. 1 увлекается и живописью, и историей, и литературой. Сколько человек в группе не увлечены ни одним из этих предметов?

17. Из группы в 170 студентов, занимающихся естественными науками, 70 студентов посещают лекции по крайней мере одного курса физики, 95 ходят на биологию и 80 – на математику. Предположим, что 30 студентов посещают и математику и физику, 35 – математику и биологию, а 15 – биологию и физику. Предположим также, что 5 студентов посещают лекции по всем 3-м предметам. Сколько студентов посещают лекции ровно по двум из этих трёх предметов? Сколько студентов посещают лекции только по одному из 3-х предметов? Сколько студентов не посещают ни один из перечисленных предметов?

19. А – подмножество множества натуральных чисел. Каждый элемент множества А есть число, кратное или 2, или 3 или 5. Найти число элементов в множестве А, если среди них имеется: 70 чисел, кратных 2, 60 чисел кратных 3, 80 чисел кратных 5, 32 числа кратных 6, 35 чисел кратных 10, 38 чисел кратных 15 и 20 чисел кратных 30.

20. В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо 1 торт, либо 1 коробку конфет, либо 1 торт и 1 коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт и коробку конфет?

21. В футбольной секции занимается 65% учащихся, в волейбольной 70%, а в баскетбольной 75%. Какой минимальный процент учащихся может заниматься одновременно во всех трёх секциях? (Ответ. 10%).

Источник

Множество. Элементы множества. Способы задания множества. Пустое множество. Подмножество.Операции над множествами.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Множе ство. Э лементы множества . Способы задания множества. Пустое множество. Подмножество. Операции над множествами.

1.О рганизационный момент

3. Изучение нового материала

1.О рганизационный момент

Вступительное слово учителя

3. Изучение нового материала

Множество возникает путем объединения

отдельных предметов в единое целое.

Оно есть множественность мыслимая как единое.

Множество представляет собой объединение некоторых объектов или предметов в единую совокупность по каким-либо общим свойствам или законам. Обозначают А,В,Р,…

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

N – множество натуральных чисел,

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.

Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Обозначают Ø

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов.

Перечислите множество фруктов

Перечислите множество овощей

Перечислите множество школьных предметов учеников 6 класса

Начертите три круга изображающие круги Эйлера. В самом маленьком круге напишите, те знания и умения которые вы приобрели в дошкольном возрасте (множества А), во втором круге – чем пополнились ваши знания в начальной школе (множества В) и в самом большом круге чему вы научились в 5-6 классах (множество С). В каком отношении находятся эти множества? (ответ А подмножества множества В и в – подмножества множества С)

1.Дано множество <11; 34; 60; 16; 90>. Принадлежит ли этому множеству число, которое получится при сложении 60 и 30, при вычитании 9 из 17, при делении 72 на 8, при вычитании И из 48, при умножении 20 на 3? [да; нет; нет; да; да].

2.По какому признаку составлено множество <зима, весна, лето, осень>, <11. 13, 15, 17, 19>? [времена года, [нечетные числа большие 10 и меньшие 20].

3.По какому признаку составлено множество <6,3,5,2,4>? [Множество чисел, больших 1 и меньших 7. Является ли это мно жество подмножеством натуральных чисел? [Да].

4.Назовите множество дней одной недели; множество месяцев одного года. Является ли множество дней одной недели подмно жеством множества дней одного месяца? [Да].

5.Даны следующие множества:

Перечислить буквы, обозначающие множества, так, чтобы каждая буква (кроме последней) обозначала подмножество следующего множества.

[ВА, СА, ДА, ЕА, ДС, ЕВ, ДЕ].

Указать, какие из данных множеств являются подмножествами других данных множеств.

7.Назовите множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 22.

Часть 2. Решим ЗАДАЧУ № 1.

Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни исто рию. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»

М — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся мате матикой;

JI — множество учащихся (кружковцев), увлекающихся лите ратурой;

Из условия задачи следует, что все условия пересекаются.

Для составления схемы воспользуемся «кругами Эйлера».

Пересечение множеств М, JI и Д содержит 6 элементов (МЛИ|=6 это следует из условия задачи).

Пересечение множеств М и Л содержит 32 элемента (|MЛ|=32), но 6 элементов принадлежат множеству И (смотри рисунок).

Можно определить, сколько человек записать в кружки по мате матике и литературе (32-6=26 человек).

Пересечение множеств М и И содержит 11 элемента (|МИ|=11), но 6 элементов принадлежат множеству JI; следовательно в кружки по математике и истории записалось 11-6=5 человек.

ЛИ содержит 8 человек (|ЛИ|=8), но 6 элементов принадлежат множеству М, значит в кружки по литературе и истории записалось 8-6=2 человека.

Теперь легко определить сколько учащихся посещают только один кружок:

всего записалось — 14+6+9+26+5+6+2=68 человек;

По условию задачи все три множества пересекаются. Число эле ментов пересечения трёх множеств обозначим через X.

Пересечение множеств Б и П (БП) содержит 15 человек (|БП| = 15), но X человек принадлежат множеству Л. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и плава нием: 15-Х (чел.).

Пересечение множеств JI и П (ЛП) содержит 18 человек (|ЛП|=18), но X человек принадлежат множеству Б. Можно определить, сколько человек занимаются лыжами и плаванием: 18-Х (чел.).

Пересечение множеств Б и JI (БЛ) содержит 16 человек (|БЛ|= 16), но X человек принадлежат множеству П. Можно определить, сколько человек занимаются баскетболом и лыжами: 16-Х (чел.).

Теперь легко определить, сколько учащихся занимаются только баскетболом:

Сколько учащихся занимаются только плаванием:

Сколько учащихся занимаются только лыжами:

По условию задачи известно, что в классе 40 человек и один чело век освобожден от занятий по физкультуре. Следовательно, можно составить уравнение:

Отсюда, Х= 10, т. е. 10 человек одновременно занимаются баскет болом, плаванием и лыжами.

26-(31-10)=5 (чел.) занимаются только баскетболом.

3 (чел.) занимаются только лыжами.

25-(33-10)=2 (чел.) занимаются только плаванием.

Из 40 учащихся класса выписывают газету, 21 – журнал, 15 учащихся – и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?

Ответ: 2 человека не выписывают ни газеты, ни журнала.

В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?

Известно, что всего в кружках занимаются 25 человек. Следо вательно, можно составить уравнение:

Ответ: 6 биологов увлекаются математикой.

Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?

Ответ: 70 человек знают три иностранных языка.

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В ⊂ А)

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = < х | х ∈ А и х ∈ В>.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 3).

Для пересечения множеств выполняются следующие свойства.

1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∩ В = В ∩ А.

2 ) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).

3) А ∩ ∅ = ∅ (пустое множество является поглощающим элементом).

4) А ∩ U = А (универсальное множество является нейтральным элементом).

5) Если В ⊂ А, то А∩В = В

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = < х | х ∈ А или х ∈ В>.

Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область

Для объединения множеств выполняются следующие свойства.

1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.

2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С).

3) А ∪ ∅ = А (пустое множество является нейтральным элементом).

4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).

5) Если В ⊂ А, то А ∪ В = В

Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:

(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).

П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = < м, а, т, е, и, к >, В = < с, т, е, р, о, м, и, я >. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = < м, т, е, и >. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = < м, а, т, е, и, к, с, р, о, я >.

П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?

Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А \ В. Таким образом, по определению разности А \ В = < х | х ∈ А и х ∉ В>.

Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то разность данных множеств является заштрихованная область (рис. 5).

Определение. Пусть В является подмножеством множества А. В этом случае разность множеств А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В’ _А. Дополнение можно изобразить как показано на рис. 5. Если В – подмножество универсального множества U, то дополнение подмножества В до U обозначают В’.

Например, если В – множество однозначных натуральных чисел, то В’– множество неоднозначных натуральных чисел, если С – множество равнобедренных треугольников, то С’ – множество треугольников, у которых все стороны имеют разную длину.

Разность множеств и дополнение к подмножеству обладают рядом свойств.

1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В.

2) (А ∪ В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С).

3) (А \ В) ∩ С = (А ∩С) \ (В ∩ С).

Четвертое свойство формулируется так: дополнение к объединению двух множеств равно пересечению дополнений к этим множествам. Пятое свойство формулируется аналогично.

П р и м е р 1. А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 5. Задать описанием характеристического свойства множество А \ В и назвать три числа, принадлежащих этому множеству.

Р е ш е н и е. По определению разность данных множеств состоит из натуральных чисел, кратных 3 и не кратных 5. Поэтому разности множеств А и В принадлежат числа 9, 24, 33.

Задания для самостоятельной работы по теме :

Приведите примеры множеств А, В, С, если отношения между ними таковы:

2. Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?

5. Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.

6. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø б)А U В=А

7. Пусть Х= < x N/ 1 x 15>. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:

А – подмножество всех четных чисел;

В – подмножество всех нечетных чисел;

С – подмножество всех чисел, кратных 3;

D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;

E – подмножество всех простых чисел.

В каких отношениях они находятся?

Мне больше всего удалось…

Для меня было открытием то, что …

За что ты можешь себя похвалить?

Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

Мои достижения на уроке.

Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни исто рию. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?»

Из 40 учащихся класса выписывают газету, 21 – журнал, 15 учащихся – и газету и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?

В классе 35 учеников. 20 человек посещают математический кружок, 11 – биологический. 10 человек не посещают кружков. Сколько биологов увлекается математикой?

Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют по крайней мере одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают только два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек знают три иностранных языка?

Источник