Известно что aa1 bb1 как расположены по отношению друг к другу
Известно что aa1 bb1 как расположены по отношению друг к другу
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
а) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Отсюда следует, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично, из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Сложим полученные равенства:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 505537: 509323 509344 511579 Все
Доказать можно проще:
Треугольник 
— равнобедренный, 
— высота треугольника 
— средняя линия треугольника 
Значит 
по теореме о перпендикулярности прямой, параллельной перпендикуляру.
Можно еще проще. 
значит 
— центр описанной окружности, а 
— ее диаметр. Угол 
— прямой, как опирающийся на диаметр.
Известно что aa1 bb1 как расположены по отношению друг к другу
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.
Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Тогда 
Приведём другое решение пункта а).
Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
Известно что aa1 bb1 как расположены по отношению друг к другу
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что 
AD = 30, AA1 = 35.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.