Известно что четырехзначное число вида abba является кубом

Решения и ответы муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2009-2010 учебном году

муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2009-2010 учебном году

1.Найдите наименьший целый корень уравнения .

2.В треугольнике биссектриса равна отрезку . Найдите угол , если .

Ответ.

Решение:

Пусть отрезок симметричен относительно (см. рис.).

Так как — биссектриса, точка лежит на прямой . как симметричные, значит, , т. е. — медиана . Так как равнобедренный, его медиана является высотой, т. е. . Тогда и .

3. На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?

Ответ. Десять дробей, например: .

Покажем, что больше десяти дробей, равных целым числам, получить нельзя. Рассмотрим простые числа 13, 17 и 19. Они могут дать целое число только при делении на 1. Поэтому даже если одно из чисел 13, 17, 19 поделено на 1, то оставшиеся два «испортят» по крайней мере одну дробь. Всего же дробей 11. Следовательно, больше десяти дробей, равных целым числам, получить нельзя.

4. Сколько существует пар двузначных чисел и , для которых произведение является числом, записанным одинаковыми цифрами?

Если и — двузначные числа, то произведение — либо трехзначное, либо четырехзначное число. Предположим, что — четырехзначное число, записанное одинаковыми цифрами. Тогда должны выполняться равенства , где -ненулевое однозначное число, что невозможно для двузначных чисел и , поскольку 101 – простое число.

Следовательно, всего имеется 7 искомых пар.

Допустим, каждое вычеркнутое число написали ровно два человека. Так как они оба его вычеркнули, то число вычеркнутых записей четно. Но первоначальное число записей, ровно 300, четно. Поэтому должно быть четным и число оставшихся записей. Однако по условию осталось нечетное число записей: 45+68+54=167. Противоречие.

муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2009-2010 учебном году

1. Имеется 30 бревен, длины 3 и 4 метра, суммарная длина которых равна 100 метров. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длины 1 метр? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно).

Первое решение: Склеим все бревна в одно 100 – метровое бревно. Для его раздела на 100 частей нужно сделать 99 распилов, из которых 29 уже было сделано.

Второе решение: Если было трехметровых и четырехметровых бревен, то , откуда . Поэтому нужно сделать распилов.

2. Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в группах? Приведите пример такого разбиения на группы.

Ответ. Нужно исключить три числа, например, 3,7 и 11.

Подойдут группы, произведение чисел в которых равно 1440, например, и . Очевидно, что числа 7 и 11 должны быть исключены. Произведение остальных чисел есть . Поэтому еще необходимо исключить 3 или 12.

3. Точка пересечения медиан треугольника является центром окружности, вписанной в треугольник . Докажите, что треугольник — равносторонний.

Решение. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому диагональ (см. рис.) параллелограмма

( и — средние линии )

является биссектрисой его угла . Значит, — ромб. Но тогда

, т. е. . Аналогично, .

4. Назовём натуральное число особым, если оно представимо в виде , где и — целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел – также особое число.

Утверждение задачи следует из тождества: .

5. В шахматном турнире в школе участвовало 20 участников. Каждый сыграл с каждым по одной партии. После окончания турнира оказалось, что ровно один ученик набрал 9,5 очков и он занял девятнадцатое место. Мог ли победитель турнира обойти игрока, занявшего второе место, на 1 очко?

В любом случае первого от второго отделяет не более 0,5 очка.

муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2009-2010 учебном году

1. Известно, что x и y – различные числа, причем (x – 2009)(x – 2010) = (y – 2009)(y – 2010). Какие значения может принимать выражение x + y?

Первый способ. В данном равенстве раскроем скобки, перенесем все в левую часть, и разложим ее на множители: x2 – y2 – 4019x + 4019y = 0 Û (x – y)(x + y – 4019) = 0. Так как x ¹ y, то x + y = 4019.

Второй способ. Пусть (x – 2009)(x – 2010) = (y – 2009)(y – 2010) = с, тогда x и y – корни квадратного уравнения z2 – (2009 + 2010)z + 2009×2010 – c = 0. По теореме Виета находим сумму корней полученного квадратного уравнения: x + y = 2009 + 2010 = 4019.

2. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)

3. Известно, что сумма четырех целых чисел кратна шести. Докажите, что сумма кубов этих чисел также кратна шести.

Заметим, что если n – целое число, то n3 – n кратно 6. Действительно, n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1), что представляет собой произведение трех последовательных целых чисел, среди которых хотя бы одно число делится на 2 и ровно одно число делится на 3.

Таким образом, разность (a3 + b3 + c3 + d3) – (a + b + c + d) = (a3 – а) + (b3 – b) + (c3 – c) + (d3 – d) кратна 6. По условию сумма целых чисел a + b + c + d кратна 6, Следовательно, сумма их кубов a3 + b3 + c3 + d3 также кратна 6.

Отметим, что первую часть доказательства можно было провести иначе, а именно: рассматривая все возможные остатки от деления целого числа на 6, показать, что числа n3 и n имеют одинаковые остатки при делении на 6.

4. В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны точки D и E соответственно, причём AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны

Пусть F – середина отрезка ВМ (см. рис.). Из условия задачи следует, что MF = MA = MC, значит, ÐАFC = 90°. Кроме того, из условия следует, что AF – средняя линия треугольника DBM, а CF – средняя линия треугольника ВМЕ. Следовательно, DM || AF, BE || CF, поэтому, DM^ВЕ, что и требовалось.

5. Квадрат разделили на прямоугольники, проведя несколько разрезов, параллельно его сторонам (от края до края). Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников в семь раз больше периметра исходного квадрата. Какое наибольшее количество прямоугольников могло получиться?

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a, тогда его периметр равен 4а. Пусть проведенные разрезы разбили сторону АВ на m отрезков, а сторону ВС – на n отрезков (см. рис). Количество получившихся при этом прямоугольников равно mn.

Так как каждый отрезок, лежащий на границе квадрата ABCD, является стороной одного из таких прямоугольников, а каждый внутренний отрезок – стороной двух прямоугольников, то сумма периметров образовавшихся прямоугольников равна: 2(m – 1)a + 2(n – 1)a + 4a = 2(m + n)a.

По условию задачи: 2(m + n)a = 28а, то есть m + n = 14. Если сумма двух положительных чисел m и n фиксирована, то их произведение достигает наибольшего значения, когда m = n. Это следует, например, из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим или из того, что наибольшее значение квадратичной функции f(x) = x(S – x) достигается при .

муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2009-2010 учебном году

1. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)

Первый способ. Поскольку длина первого прыжка нечетна, а остальные длины прыжков – четные, то и сумма длин всех прыжков нечетна. А для того, чтобы вернуться в начальную точку, кузнечику нужно преодолеть путь четной длины.

Второй способ. Заметим, что в любой момент длина последнего прыжка больше, чем сумма длин всех предыдущих прыжков: 2n > 1 + 2 + 22 + … + 2n – 1 = 2n – 1. Это означает, что после n – 1 прыжков кузнечик не может оказаться от начала координат на расстоянии 2n.

2. Квадратный трехчлен f(x) = x2 + аx + b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0; 1], а другой – вне этого отрезка. Определите знак f(b).

Ответ: f(b) |b|. Учитывая, что x1 > 0, рассмотрим два случая:

1) Если x2 1, то b = x1×x2 > 1 и x2 > b. Следовательно, bÎ(x1; x2), то есть f(b) 1 и заканчивается числом m. Тогда число n + m, являющееся суммой двух чисел одного цвета, можно также представить и как сумму двух чисел другого цвета: n + m = (n – 1) + (m + 1).

муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников

по математике в 2009-2010 учебном году

Источник

Известно что четырехзначное число вида abba является кубом

Четырёхзначное число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 4, 5, 8, 9. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 2500.

Заметим, что поскольку и число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, число B является чётным числом и оканчивается на 4 или 8. Если число B оканчивается цифрой 4, то число A может оканчиваться на 2 или 7, если число B оканчивается цифрой 8, то число A может оканчиваться на 4 или 9. Число должно быть больше 2500. Этим условиям удовлетворяют числа 2749, 2947, 2974, 4297, 4729, 4792 и 4927.

Ответ: 2749, 2947, 2974, 4297, 4729, 4792 и 4927.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 3, 5, 8, а четырёхзначное число B — из цифр 0, 1, 6, 7. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Заметим, что поскольку и число A состоит из цифр 0, 3, 5, 8, число B является чётным числом и оканчивается на 0 или 6. Если число B оканчивается цифрой 0, то число A может оканчиваться на 0 или 5, если число B оканчивается цифрой 6, то число A может оканчиваться только на 8, поскольку если число A оканчивается на 3, то невозможно составить четырёхзначное число A Ответ: 3085, 3508, 3580 и 3805.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 2, 3, 7, 8, а четырёхзначное число B — из цифр 4, 5, 6, 7. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 2500.

Заметим, что поскольку и число A состоит из цифр 2, 3, 7, 8, число B является чётным числом и оканчивается на 4 или 6. Если число B оканчивается цифрой 4, то число A может оканчиваться на 2 или 7, если число B оканчивается цифрой 6, то число A может оканчиваться на 3 или 8. Число должно быть больше 2500. Этим условиям удовлетворяют числа 2738, 2837, 2873, 3287, 3728, 3782 и 3827.

Ответ: 2738, 2837, 2873, 3287, 3728, 3782 и 3827.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 3, 4, 8, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 6, 7, 8, 9. Известно, что B = 2A. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 3500.

Заметим, что поскольку B = 2A, число B четное. Оно состоит из цифр 6, 7, 8, 9, поэтому заканчивается на 6 или 8. По условию, число A большее 3500, поэтому число В больше 7000, то есть не начинается с 6. Составим все такие числа, разделим их на 2 и проверим, что полученное число записано цифрами 3, 4, 8, 9. Находим варианты для B: 9876, 9786, 8976, 8796, 7896, 7986, 9768, 9678, 7968, 7698. Делением устанавливаем, что числа А могут быть равны: 4938, 4893, 4488, 4398, 3948, 3993, 4884, 4839, 3984, 3849 и только они. Из найденных чисел цифрами 3, 4, 8, 9 записываются числа 4938, 4893, 4398, 3948, 4839, 3984 и 3849.

Ответ: 3849, или 3948, или 3984, или 4398, или 4839, или 4893, или 4938.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 1, 4, 6, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 2, 3, 8, 9. Известно, что B = 2A. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 1500.

Заметим, что поскольку B = 2A, число B четное. Оно состоит из цифр 2, 3, 8, 9, поэтому заканчивается на 2 или 8. Составим все такие числа, разделим их на 2 и проверим, что полученное число записано цифрами 1, 4, 6, 9 и больше 1500. Находим варианты для B: 9832, 9382, 8932, 8392, 3892, 3982, 9328, 9238, 3928, 3298, 2938, 2398. Делением устанавливаем, что числа А могут быть равны: 4916, 4691, 4196, 1946, 4619, 1964, 1649, 1469 и только они. Число 1469 меньше 1500, остальные числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 4916, 4691, 4196, 1946, 4619, 1964 и 1649.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 1, 2, 6, 7, а четырёхзначное число B — из цифр 2, 3, 4, 5. Известно, что В = 2А. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 1500.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 1, 5, 6, а четырёхзначное число B — из цифр 0, 1, 2, 3. Известно, что Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Наибольшая возможная первая цифра B — 3, поэтому первой цифрой А может быть только 1. Поскольку и число A состоит из цифр 0, 1, 5, 6, число B является чётным числом и заканчивается на 0 или 2.

Если число B заканчивается на 0, то число A может заканчиваться на 0 или 5, то есть имеет вид 1××0 или 1××5. Проверка показывает, что числа 1560, 1065 и 1605 подходят, а число 1650 — нет.

Если число B заканчивается цифрой 2, то число A может заканчиваться на 1 или 6. Но 1 стоит на первом месте, поэтому в этом случае число А имеет вид 1××6. Проверка показывает, что число 1056 не подходит, а число 1506 подходит.

Следовательно, искомыми числами являются 1065, 1506, 1560 и 1605 и только они.

Источник