какие колебания называются малыми

Какие колебания называются малыми

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов исследования движения является приложение теории дифференциальных уравнений к исследованию малых движений системы вблизи ее положения равновесия. Этот раздел механики выделился в настоящее время в самостоятельную дисциплину, которая и называется теорией малых колебаний.

Теория малых колебаний является приближенной теорией движения механических систем вблизи положения равновесия или определенного состояния движения. Изучение колебательных процессов имеет первостепенное значение для самых разнообразных разделов физики. Начало современного учения о колебаниях относится к классическим работам Галилея, Гюйгенса, Ньютона, Лагранжа. В основе теории лежат приближенные методы исследования движения в окрестности положения равновесия. Предположение о малости колебаний значительно упрощает математическую сторону задачи, позволяет ограничиться линейными дифференциальными уравнениями движения. Результаты оказываются

справедливыми, когда рассматриваются колебания около устойчивого положения равновесия.

Общность теории является наиболее важным ее свойством, а благодаря малости движений появляется возможность сильных упрощений уравнений движения.

1. Малые колебания системы с одной степенью свободы.

Прежде чем рассматривать общие методы теории малых колебаний механической системы, остановимся на некоторых задачах о колебании системы с одной степенью свободы и, в частности, о колебаниях одной материальной точки.

Систему материальных точек с одной степенью свободы, совершающую колебательные движения около положения равновесия, называют осциллятором. Простейшим движением такой системы является гармоническое колебание. Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. В частном случае гармоническим осциллятором является материальная точка, совершающая прямолинейное движение под действием силы, пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, направленной в каждый момент в сторону положения равновесия. Такая сила всегда стремится вернуть точку в положение равновесия. Физическая природа силы может быть самой разнообразной, но проще всего ее представить как упругую силу, подчиняющуюся закону Гука.

Выбирая начало координат неподвижной системы отсчета в положении равновесия точки и направив ось х вдоль прямой, по которой движется точка, для живой силы и силовой функции точки получим выражения:

Тогда уравнение Лагранжа будет иметь вид

Общее решение этого уравнения, как известно, имеет вид

Движение точки по такому закону называют гармоническим колебанием. Коэффициент А называется амплитудой гармонического колебания, аргумент — фазой колебания, начальной фазой. Тогда будет периодической функцией с периодом

Период определяет время, в течение которого точка совершает одно полное колебание. Величина называется циклической, или круговой, частотой колебаний. Частота колебаний является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Она полностью определяется свойствами механической системы.

Состояние движения гармонического осциллятора в каждый момент времени определяется заданием значений его координаты х и скорости Для изображения этого состояния движения можно воспользоваться представлением движения на фазовой плоскости переменных х и и, рассматриваемых как декартовы координаты. Тогда каждая точка фазовой плоскости будет определять состояние движения осциллятора. Такую точку будем называть изображающей.

В общем случае колебаний системы с одной степенью свободы, подчиненной голономным идеальным связям, не зависящим явно от времени, живая сила и силовая функция системы представляются в виде

Для малых движений в окрестности положения равновесия величины и остаются малыми, если в положении равновесия Тогда коэффициент и силовую функцию можно представить в виде степенных рядов

Так как является положением равновесия, то Пренебрегая в выражениях для живой силы и силовой функции членами выше второго порядка малости, будем иметь:

где — постоянные величины, причем Уравнение для малых движений примет теперь вид

При система будет совершать колебательные движения в окрестности положения равновесия.

При движении системы изображающая точка описывает некоторую кривую на фазовой плоскости — фазовую траекторию

(эта траектория не является траекторией материальной точки в кинематическом смысле). Скорость движения изображающей точки называют фазовой скоростью.

Зная решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора, нетрудно найти уравнение траектории на фазовой плоскости. Если

то фазовой траекторией будет эллипс

При изменении начальных условий в общем случае будет меняться амплитуда колебаний. В результате получим семейство подобных эллипсов (рис. 259), представляющее фазовый портрет гармонических колебаний.

Уравнение гармонического осциллятора допускает первый интеграл — интеграл живых сил

где постоянная определяется начальными значениями координаты и скорости, т. е. начальным запасом полной механической энергии. Связывая значения скорости и координаты в каждой точке траектории, первый интеграл является конечным уравнением фазовых траекторий, которое и решает вопрос о движении системы. По фазовым траекториям можно выяснить направление движения изображающей точки. В самом деле, если скорость положительна, то х возрастает, т. е. в первой четверти фазовой плоскости изображающая точка движется в сторону увеличения абсциссы и т. д.

Источник

Начала физики. 11. Малые колебания, их затухание и явление резонанса.

На этом уроке мы обсудим малые колебания. Малые в том смысле, что сила их возбуждающая линейна (первой степени) по координате смещения колебательной системы от точки ее равновесия. Ибо только в этом случае решения уравнений движения колебательной системы описываются простейшими гармоническими функциями. Рассмотрим как свободные колебания, так и колебания при наличии диссипативных процессов (трения). Рассморим также резонансные ситуации, в которых на колебательную систему действует внешняя сила с частотой слабо отличающейся от собственной частоты колебательной системы.

m L d²φ/dt² = – mg sinφ. (1)

Это уравнение при начальных ( при t = 0) условиях φ = φ о и dφ/dt = 0 (маятник отклонен на максимальный угол и имеет нулевую скорость) имеет вид:

φ = φ о cos( ω о t ), (3)

где φ о – амплитуда колебаний, а ω о = √ (g/ L ) – собственная частота колебаний маятника, которую мы абсолютно точно определили методом размерностей еще на первом уроке.

В дальнейшем для упрощения записей мы будем изучать малые колебания по одномерной декартовой координате х шарика массы m на пружинке жесткости k :

2. Затухание колебаний.
Затухание колебаний происходит из-за воздействия на колебательную систему диссипативных сил (трения). Будем считать, что сила трения линейна по скорости:

Тогда уравнение малых колебаний принимает вид:

d² х /dt² + ( α/ m)dx/dt + ω о ²x = 0. (7)

Напрямую решение уравнения (7) в форме (5) получить невозможно. Но выход есть. Заметим, что

x = Acos( ω о t) = Re(Aexp(i ω о t)),

ω ² – 2i λ ω – ω о ² = 0, (8),

где λ = α/2 m. Решение которого ω = i λ ± √( ω о ² – λ ²). Подставляя сие в вещественную часть искомого решения, получаем:

х = А exp( – λ t)cos(t √( ω о ² – λ ²) ). (9)

б) сами колебания с уменьшенной частотой ω = √( ω о ² – λ ²). При этом в случае ω о ² > λ ² мы видим именно затухающие колебания. Но в случае ω о ² λ ² (очень сильное трение типа «маятник в плотном киселе») будет иметь место только затухание без каких-либо колебаний.

d² х /dt² + ω о ²x = (f о /m)cos( γ t) (10)

В = f о /m/( ω о ² – γ ² ). (11)

Источник

Малые колебания

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Колебания широко распространены в природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе целых отраслей техники (например, электротехника, радиотехника и т.д.). Во многих случаях колебания играют негативную роль (колебания крыльев самолета, конструкции автомобиля и т.д.), что необходимо учитывать при их изготовлении.

В зависимости от физической природы процесса различают: механические и электромагнитные колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как система была выведена из положения равновесия.

Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания, как вынужденные колебания, сопровождаются внешним воздействием на систему, но моменты этого воздействия задаются самой системой, т.е. система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра системы (например, длины нити математического маятника).

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. колебания при которых некоторая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний важен по двум причинам:

— колебания в природе и технике часто имеют характер близкий к гармоническому;

— периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Малые колебания.

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим за «х».

В этом случае потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной «х», т.е. . Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении потенциальная энергия имеет минимальное значение. Условимся координату х и потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия, тогда .

Разложим функцию в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно пренебречь.

. 7.1

Так как ,

то, введя обозначение , получим,

. 7.2

Коэффициент называется жесткостью и является характеристикой колеблющейся системы в целом.

Найдем силу, действующую на систему

. 7.3

Силы вида , независимо от их природы, получили название квазиупругих сил. Они всегда направлены к положению равновесия и пропорциональны смещению системы от положения равновесия.

Система, движущаяся под действием квазиупругой силы, называется одномерным гармоническим осциллятором.

Согласно второму закону Ньютона, в одномерном случае, получим . В случае гармонического осциллятора и тогда .

Если ввести обозначение , то последнее выражение можно преобразовать к виду

. 7.4

Это уравнение описывает движение одномерного гармонического осциллятора. Величина называется собственной частотой колебаний системы.

Рассмотрим некоторые примеры.

а) Пружинный маятник.

Пусть груз массой подвешен к пружине с жесткостью . В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости пружины (рис. 42), т.е. .

Направим ось Х вниз, а начало отсчета совместим с положением равновесия системы (рис. 42).

Тогда при смещении груза в положение, координата которого будет равна (рис. 42), на него будут действовать две силы – сила тяжести и сила упругости пружины . Равнодействующая этих сил .

Это означает, что равнодействующая сил тяжести и упругости пружины является квазиупругой силой и колебания груза, подвешенного к пружине, будут описываться уравнением вида .

б) Физический маятник.

Рассмотрим твердое тело, способное совершать колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс, так называемый физический маятник (рис. 43).

При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы тяжести , стремящийся вернуть маятник в положение равновесия (рис. 43). Подставляя в основное уравнение динамики вращательного движения , получим . Для малых колебаний и тогда полученное уравнение можно преобразовать к виду .

Разделив полученное уравнение на и, обозначив , получим уравнение , которое аналогично полученному ранее.

Источник

Механические колебания

теория по физике 🧲 колебания и волны

Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.

Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.

Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.

Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Механические колебания — это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.

Механическая система — совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.

Какими бывают колебания?

Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:

Свободные колебания

Свободные колебания — колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.

Колебательная система — механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.

Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:

Примеры свободных колебаний:

Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.

В колебательную систему математического маятника входят:

В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Примерами вынужденных колебаний служат:

Затухающие и незатухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.

Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.

Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.

Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.

Динамика колебательного движения

Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости

Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.

Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:

Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:

где k — жесткость пружины.

Тогда уравнение движения шарики принимает

Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?

Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:

∣ ∣ ∣ → F т я ж ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ → F у п р ∣ ∣ ∣

где y m a x — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:

Начальная скорость равна нулю. Отсюда:

Максимальная скорость равна:

Уравнение движения математического маятника

Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:

При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.

Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:

Причем компонента → F τ направлена перпендикулярно нити, а → F n — вдоль нее.

Компонента → F τ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:

Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести → F τ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая → F τ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α → F τ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.

Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:

Внимание! Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2 о = 2∙3,14/180 рад., или 2 о = 0,035 рад.

При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):

Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.

При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:

Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:

Тогда длина нити равна:

Основные характеристики колебательного движения

Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — x_max. Единиц измерения — метр (м).

Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).

Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:

Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:

Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:

Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.

Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.

Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:

Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:

В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.

Каков период колебаний шарика?

Алгоритм решения

Решение

Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:

T = 2 ( t 2 − t 1 ) = 2 ( 3 − 1 ) = 4 ( с )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

где k — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.

Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:

Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.

А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.

Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.

В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.

Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.

Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.

Алгоритм решения

Решение

Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.

Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.

Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.

Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.

Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник