С к кожухов уравнения и неравенства с параметром

С к кожухов уравнения и неравенства с параметром

Этот раздел посвящен решению различных типов уравнений и неравенств с параметром (задания типа С5). Сюда не включаются задачи из известных книжек, решения которых размещены в разделе ЕГЭ.

Все задачи я условно разделю на три группы (А, В и С) по возрастанию сложности. Конечно, это деление достаточно субъективно.

Задача П45 ( Уровень В )

Найти все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит какой-либо луч на числовой прямой?

Задача П44 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

Задача П43 ( Уровень В )

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество з начений функции

содержит полуинтервал (-1;3]. Определить при каждом таком р множество значений функции f(x). Решение…

Задача П42 ( Уровень В )

Найдите все значения величины х, удовлетворяющие неравенству

хотя бы при одном значении а, принадлежащем промежутку [-2;1] МГУ,мехмат 1992 Решение…

Задача П41 ( Уровень В )

имеет хотя бы одно целочисленное решение (х,у) Решение…

Задача П40 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?

Задача П39 ( Уровень В )

При каких значениях а уравнение имеет хотя бы одно решение? МГУ, мехмат, 1996 год

Задача П38 ( Уровень С)

Найти все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.

Задача П37 ( Уровень С )

Задача П36 ( Уровень А )

Задача П35 ( Уровень С )

Найдите все неотрицательные значения параметра а, при которых уравнение

Задача П34 ( Уровень С )

Найти все а, при которых уравнение имеет 2 корня и между этими

корнями расположен ровно один корень уравнения

МГУ мехмат 2000

Задача П33 ( Уровень В )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства не меньше 1. МГУ, мехмат 1999 г.

Задача П32 ( Уровень А )

Найти все значения параметра а, при которых неравенство не имеет решений на отрезке [-1;2]

Задача П31 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а уравнение

Задача П30 ( Уровень В )

Найти наибольшее значение а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.

Задача П29 ( Уровень А )

При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение?

Задача П28 ( Уровень В )

Задача П27 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а неравенство

и меет единственное решение? Решение…

Задача П26 ( Уровень А )

Найдите все решения уравнения для тех значений параметра k при которых уравнение имеет два корня, максимальный из которых в 3 раза больше минимального.

Задача П25 ( Уровень В )

Найдите значения все параметра р, при которых уравнение

имеет ровно 3 различных корня. Решение…

Задача П24 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число различных корней уравнения

равно числу различных корней уравнения Решение…

Задача П22 и П23 ( Уровень А )

Найдите значения а, при которых уравнение

имеет единственное решение

Найдите значения а, при которых уравнение имеет 3 корня.

Эти задачи я объединил потому, что в их решении используется один общий метод. Решение…

Задача П21 ( Уровень В )

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 корня.

Задача П20 ( Уровень С )

Найдите все значения а, при которых каждое из уравнений и

имеет хотя бы один корень. Решение…

Задача П19 ( Уровень А )

Задача П18 ( Уровень А )

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение и меет ровно 2 корня.

Задача П17 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень.

Задача П16 ( Уровень В )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет шесть корней.

Задача П15 ( Уровень С )

Задача П14 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых количество различных корней уравнения

Задача П13 ( Уровень С )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

является отрезком длины меньше 1. Решение…

Задача П12 ( Уровень В )

Даны два уравнения:

Значение параметра р выбирается таким образом, что число различных корней второго уравнения в сумме с числом

Задача П11 ( Уровень В )

Решение…

Задача П10 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений

Задача П9 ( Уровень С )

Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнениеимеет три решения.

Задача П8 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения неравенств

и

содержат только одно целое число. Решение…

Задача П7 ( Уровень В )

Найдите все значения х, каждое из которых хотя бы при одном значении параметра а удовлетворяет неравенству

Задача П6 ( Уровень В )

Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции

содержит ровно два целых числа. Решение…

Задача П5 ( Уровень B )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

верно при всех значениях переменной х. Решение…

Задача П4 ( Уровень В )

Задача П3 ( Уровень А )

Найдите все значения переменной х, при каждом из которых неравенство верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3 ; 6]. Решение…

Задача П2 ( Уровень А )

Найти все значения параметра а, при которых выражение больше выражения

при любом значении х, принадлежащем промежутку (2, 5)

Задача П1 ( Уровень С )

Найти все значения а, при каждом из которых оба числа и

Источник

Программа дополнительного образования по математике для 10-11 классов «Уравнения и неравенства с параметром»

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

Программа дополнительного образования

«Уравнения и неравенства с параметром»

Программу разработала учитель математики

высшей квалификационной категории

Войликова Елена Владимировна

МАОУ СОШ № 22 с углубленным изучением

отдельных предметов, город Тамбов

Уравнения и неравенства с параметрами в последние годы включены в материалы ЕГЭ по математике, предлагаются на вступительных экзаменах в вузы. При этом названные уравнения и неравенства часто оказываются более высокой степени сложности, чем те, что рассматриваются в школьном курсе математики, так как школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения уравнений и неравенств с параметрами всеми учащимися. В связи с этим их решение для многих учащихся становится проблематичным. Для успешного решения уравнений и неравенств с параметрами важно владеть различными методами решения: стандартными аналитическими, логическими, графическими, методами, использующими свойства функций. Также необходимо уметь определять целесообразность применения тех или иных методов при решении конкретных примеров.

Необходимость введения данного курса объясняется потребностью формирования у учащихся опыта решения задач по данной теме, что является одним из направлений совершенствования системы подготовки учащихся к продолжению своего образования и самообразования.

Программа дополнительного образования интеллектуально-познавательной направленности «Уравнения и неравенства с параметрами» содействует наиболее полному и системному изучению алгоритмов решения уравнений и неравенств с параметрами, сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учащихся и учителей, предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к формированию системы знаний, умений и способов деятельности, развития и социализации учащихся.

Основная цель программы состоит в углублении и систематизации знаний по теории и алгоритмам решения уравнений и неравенств с параметрами самой разнообразной структуры, выработке умения решать не только типовые задания, но и повышенного уровня сложности.

развивать интеллектуальные и творческие способности учащихся в процессе самостоятельного приобретения знаний и умений с использованием различных источников информации, в том числе средств современных информационных технологий;

воспитывать навыки сотрудничества в процессе совместной работы, уважительного отношения к мнению одноклассников, способности давать оценку предложенным вариантам решения;

подготовить учащихся к выполнению заданий, предлагаемых на ЕГЭ и вступительных экзаменах в вузы, к обучению в профессиональном учебном заведении;

воспитание убежденности в возможности познания сложных вопросов математики, в необходимости разумного использования полученных знаний в различных ситуациях;

применение полученных знаний и умений для решения практических задач;

воспитание у учащихся в ответственный период социального взросления потребности в самоопределении и самосовершенствовании.

Образовательная программа дополнительного образования детей интеллектуально-познавательной направленности «Уравнения и неравенства с параметрами» включает четыре раздела:

требования к программе и методические основы;

основное содержание с примерным распределением часов по курсу;

Программа включает новые знания, не содержащиеся в базовых программах. В ней содержится серьезный материал познавательного характера, существенно расширяющий кругозор, эрудицию ученика.

Программа содержит знания, вызывающие познавательный интерес.

Программа содержит знания, необходимые для достижения запланированных в ней целей подготовки, включая методики организации занятий (педагогические технологии: развивающего обучения, критического мышления), способствующие социологизации личности ученика.

В учебном материале программы допускается рассмотрение вопросов, не нашедших разрешения в процессе изучения темы во время урока. Основное требование – весь рассматриваемый материал должен носить научный характер.

Материал программы может применяться для различных групп школьников, что достигается обобщенностью включенных в него знаний.

Практическая направленность курса

Программа позволяет проиллюстрировать область применения предъявляемых знаний на примере решения задач прикладного характера.

Определяемые результаты и способы их проверки

Требования направлены на реализацию деятельностного и личностно- ориентированного подходов; освоение учащимися интеллектуальной и практической деятельности; овладение знаниями и умениями, необходимыми при решении практических задач.

основные понятия изучаемой темы;

методы исследования, используемые при решении уравнений и неравенств с параметрами.

Учащиеся должны владеть навыками:

планирования изучения объема нового материала;

работы с научной и справочной литературой;

работы с материалами, представленными на мультимедийных учебных дисках и Интернет – ресурсами по данной теме.

Методические основы программы

Данный курс не является привычным для учащихся. Его основная цель – не добиваться заучивания алгоритмов решения уравнения и неравенств с параметрами, а сделать так, чтобы дети поняли идею решения данного вида сложных задач. Поняли, что эти знания имеют непосредственное отношение к их самоопределению и самосовершенствованию. Научить анализировать необходимость применения различных методов решения задач с параметрами.

Для реализации этой цели были выбраны методы работы, которые отвечают следующим требованиям:

заставляют задуматься над обозначенной проблемой;

позволяют детям сформулировать свое собственное мнение при выборе решения задачи и свободно его высказывать, выдвигать и обосновывая необходимость использования тех или иных методов;

учат детей общаться друг с другом;

создают атмосферу равноправия и уважения.

Это активные методы обучения, которые требуют творческого подхода к материалу и создают оптимальные условия для самостоятельной работы учащихся:

работа в малых группах по рассмотрению отдельного вида заданий;

творческие работы, которые предполагают самостоятельный поиск решения задач с использованием соответствующей литературы;

творческие работы, которые предполагают самостоятельное составление заданий по теме и их варианты решения;

индивидуально выполняемые задания по теме;

обсуждение вариантов решения заданий, предложенных одноклассниками.

Инструментом для вовлечения учащихся в познавательную деятельность служат использование наряду с традиционными формами организации обучения, инновационные формы и методы, творческий подход к их применению.

Методические пособия, техническое оснащение

комплекты пособий для выполнения самостоятельных, тестовых и контрольных заданий;

книги для чтения «За страницами учебника математики»;

литература естественно-научного содержания;

справочные пособия (математическая энциклопедия, справочники по математике);

мультимедийные обучающие программы и электронные учебники;

слайды по различным разделам курса математики;

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

Программа предусматривает формирование у школьников общеучебных умений и навыков, универсальных способов деятельности и ключевых компетенций. Приоритетами для данного курса являются:

информационно – коммуникативная деятельность;

Программа рассчитана на 2 учебных года в количестве 144 учебных часов (2 часа в неделю); 10 класс – 72 учебных часа (2 часа в неделю); 11 класс – 72 учебных часа (2 часа в неделю).

Данный курс адресован учащимся 10 – 11 классов физико – математического, химико – биологического, технологического профилей, для удовлетворения их индивидуальных интересов к математике и ее практических приложений на основе углубленного изучения.

Программой предусмотрены по каждой теме практические занятия, закрепляющие теоретические знания учащихся, среди них:

работа с учебником;

работа с научной и справочной литературой;

работа с мультимедийными обучающими программами и электронными учебниками.

Текущий контроль усвоения материала можно осуществлять в процессе выполнения практических заданий и в процессе выполнения дидактических тестов.

Итоговой формой контроля является выполнение самостоятельных, тестовых и контрольных заданий.

Учебно – тематический план

Уравнения и неравенства с параметром

Источник

Элективный курс на тему «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ»

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

Элективный курс «Уравнение и неравенство с параметром».

Пояснительная записка.

Представленный элективный курс имеет предметно-ориентированный характер и предполагает собой реализацию, как в общеобразовательных, так и в профильных 11 классах.

Актуальность данного курса очевидна, исходя из ежегодного использования задач с параметрами в материалах ЕГЭ. Хотя должного внимания данному виду задач в школьной математике до сих пор не уделяется. Тем более при решении задач с параметром, так или иначе, приходиться прибегнуть к решению путем рассуждения, что развивает логическое мышление, а это всегда актуально. Задачи с параметром обычно включают в себя сведенья из разных тем школьной математики, при решении этих задач используются знания, полученные на протяжении всего обучения. Тем самым можно считать, что задачи с параметром являются средством для развития математической логики, которая пригодиться при решении любых других задач, а умение рассуждать понадобиться при изучении высшей математике в Вузе.

Элективный курс рассчитан на преподавание в объеме 34 часов, то есть 1 час в неделю. Изучение элективного курса поможет учащимся выпускного класса не только разобраться в этапах решения одной из самых сложных задач ЕГЭ, но и разовьют навыки исследовательской деятельности, что, несомненно, пригодиться в дальнейшем обучении в Вузе.

Целью данного элективного курса является изучение методов и приемов решения уравнений и неравенств с параметром, а также приобретение исследовательских навыков.

Данный курс призван способствовать решению следующих задач:

овладение системой знаний по решению задач с параметром;

расширение представлений об уравнениях и неравенствах с параметрами;

развитие математических способностей и математической культуры;

развитие логического мышления;

привлечение выпускников к выбору профессии, имеющей математический уклон.

Преобладающими формами обучения являются индивидуальная, фронтальная, реже групповая, а также используются элементы исследовательской деятельности. Используются такие методы обучения как объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, метод проектов. В качестве средств обучения используются печатные и наглядные пособия и электронные образовательные ресурсы. Для контроля знаний используются самостоятельные работы и презентация групповых учебных проектов.

Содержание программы элективного курса.

Введение. Что такое параметр?(1ч)

Определение параметр. Понятие равносильности уравнений. Понятие уравнения с параметром, неравенств с параметром. Виды уравнений и неравенств с параметром. Решение простейших задач с параметром.

Линейные уравнения и неравенства с параметром. (5ч)

Линейные уравнения с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейно-кусочных уравнений. Решение уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Линейные неравенства с параметром. Решение линейных неравенств с параметром.

Квадратные уравнения и неравенства с параметром. (10ч)

Квадратные уравнения с параметром. Решение квадратные уравнения с параметром. Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Необходимые и достаточные условия для решения конкретных случаев квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Квадратные неравенства с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром. Метод интервалов при решении квадратных неравенств с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго типа. Нахождение заданного количества решений.

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром. (4ч)

Различные виды уравнений и неравенств с параметром. (10ч)

Решение уравнений и неравенств с параметром, содержащих модуль. Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметром. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Метод решения относительно параметра.

Задачи с параметром в едином государственном экзамене. (3ч)

Нетрадиционные задачи с параметром. Задачи с параметром, входящие в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Олимпиадные задачи с параметром.

Заключение. Итоговое занятие (1ч)

Защита групповых учебных проектов.

Параметр в системах уравнений.

Параметр в системах неравенств.

Учебно-тематическое планирование.

Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения с параметрами и сводимые к ним.

Линейные неравенства с параметрами

Линейные неравенства с параметрами и сводимые к ним

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Квадратные уравнения и неравенства с параметром.

Квадратные уравнения с параметром

Использование теоремы Виета для решения уравнений с параметром

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

Квадратные уравнения с параметром первого вида

Квадратные уравнения с параметром второго вида

Квадратные неравенства с параметром

Метод интервалов при решении неравенств с параметром

Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго вида

Нахождение заданного количества решений уравнений и неравенств с параметром

Самостоятельная работа по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром.

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Различные виды уравнений и неравенств с параметром.

Уравнения с параметром, содержащие модуль

Неравенства с параметром, содержащие модуль

Тригонометрические уравнения с параметром

Тригонометрические неравенства с параметром

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные и логарифмические неравенства с параметром

Иррациональные уравнения с параметром

Иррациональные неравенства с параметром

Метод решения относительно параметра

Самостоятельная работа по теме «Различные уравнения и неравенства с параметром»

Задачи с параметром в едином государственном экзамене.

Практикум по решению задач ЕГЭ

Итоговый урок. Защита проектов

Заключение.

Задачи с параметром актуальны для изучения в школе, так как они помогают в формировании логического мышления. В ходе решения уравнений и неравенств с параметром фактически проводиться исследование, поэтому можно с уверенностью сказать, что такого рода работа развивает у учащихся навыки исследовательской деятельности. Поиска способа решения того или иного уравнения с параметром требует от учащегося обладания высоким уровнем математического мышления и посильно не каждому рядовому ученику общеобразовательной школы. Поэтому изучение задач с параметром, как и любых других трудных, нестандартных задач всегда будет вопросом актуальным для учащихся профильных школ, а также для выпускников, у которых приоритетным предметом является математика и возможность получить максимальный балл при его сдаче.

В первой главе рассмотрены основные понятия, входящие в цикл понятий о параметре, а также разобраны основные методы решения уравнений и неравенств с параметром.

Вторая глава посвящена решению различных задач с параметром, которые могут встречаться на ЕГЭ, а также в составе олимпиадных заданий. При решении этих представленных уравнений и неравенств с параметром используются различные методы: аналитический, графический, метод решения относительно параметра; применяются знания по решению уравнений и неравенств различного вида, а также дополнительные знания, такие как схема Горнера, равносильные преобразования, переход от уравнения к системе простых неравенств и т.д. Задачи с параметрами являются сложными потому, что не имеют единого алгоритма решения. Из представленных в работе примеров видно, что каждый вид уравнения с параметром требует индивидуальный подход к своему решению. Любые из данных примеров, которые представлены от простого к сложному, требуют тщательного обдумывания, большого внимания и навыков исследования. Каким бы методом не решалась задача, она требует анализа.

Третья глава представляет собой программу элективного курса «Уравнения и неравенства с параметром» рассчитанного на преподавание в объеме 34 часов в 11 классе. В данную программу входят:

пояснительная записка, содержащая актуальность, цель и задачи курса, а также методы, формы и средства обучения;

содержание программы, в которой представлена краткая аннотация каждого раздела;

Правильно подобранная система задач и практически отработанный навык решения – гарантия успешного изучения темы, а возможность соблюдения этих критериев дает элективный курс. Расширенное и более подробное изучение нетрадиционных задач таких, как задачи с параметром, с помощью элективного курса оправданно, так как данный курс развивает математическую логику и логику мышления, что поможет и в решении других задач.

Задачи, содержащие в своем условие параметр, относят к наиболее сложному виду задач представленных в ЕГЭ. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3% [10]. Представленные элективный курс «Уравнения и неравенства с параметром» и разобранные задачи, при использовании в старших классах, помогут не только решить данный вид задач на ЕГЭ, но и научат рассуждать и анализировать любое задание, а не просто бездумно следовать заученному алгоритму. Уверенное решение задач с параметром – это достаточный уровень математической подготовки для школьника, большой шаг к дальнейшему поступлению в Вуз, подспорье в подготовке к математической олимпиаде, конкурсам, ЕГЭ.

Список литературы.

Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 1. – М.: Дрофа, 2009 – 480 с.

Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 2. – М.: Дрофа, 2009 – 444 с.

Высотский В. С., Задачи с параметром при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.

Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром — М.: МЦНМО, 2011.- 144 с.

Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.

Мирошин В. В., Решение задач с параметрами. Теория и Практика. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 282 с.

Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208 с.

Шабунин М. И., Прокофьев А. А., Олейник Т. А., Соколова Т. В. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 11 класса. – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010. – 360 с.

Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.: МЦНМО, 2007. – 296 с.

Сергеев И. Н., Панферов В. С. ЕГЭ: Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Все задания части 2. – М. Издательство «Экзамен», 2018. – 334 с.

Ерина Т. М. ЕГЭ 2018. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Практическое руководство. – М.: УЧПЕДГИЗ, 2018. – 350 с.

Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения. – М.: ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. – 416 с.

Источник