Сборник задач с параметрами
Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий, 2011
Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий В.С., 2011.
Книга посвящена решению задач с параметрами, которые для многих школьников традиционно являются задачами повышенной трудности. Задачи классифицированы как по типам, так и по методам решений, начиная от простейших задач до трудных, встречающихся на олимпиадах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ.
Для учащихся 8-11 классов, учителей школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов.
ЧТО ТАКОЕ ПАРАМЕТР.
Как это ни покажется странным, задачи с параметрами мы решаем чуть ли не ежедневно, при этом в большинстве своем не зная, что такое параметр. Например, придя в магазин покупать какой-либо товар, мы смотрим на его цену. Если цена будет очень высокой, мы не купим его. Если цена будет вполне приемлемой, мы принимаем решение купить товар. Но если цена товара резко уменьшилась (например, в результате распродажи), мы можем купить несколько единиц этого товара. Таким образом, если рассматривать цену товара как параметр, то от значений этого параметра будет зависеть, купим или не купим мы этот товар, а если и купим, то сколько единиц.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ 7
§ 1. Что такое параметр 7
§ 2. Различные формулировки задач с параметрами 8
Задачи для самостоятельного решения 10
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 13
§ 1. Линейные уравнения 13
§ 2. Линейные неравенства 18
Задачи для самостоятельного решения 22
ГЛАВА 3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
Задачи для самостоятельного решения 50
ГЛАВА 4 КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 53
Задачи для самостоятельного решения 72
ГЛАВА 5 ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА 75
§ 1. Уравнения и неравенства 75
§ 2. Дополнительный материал по алгебре 91
§ 3. Продолжение исследования уравнений и неравенств 96
Задачи для самостоятельного решения 102
ГЛАВА 6 ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ 107
§ 1. Угол наклона прямой 107
§ 2. Уравнение прямой 108
§ 3. Геометрический смысл параметров прямой 108
§ 4. Графики линейных функций 108
§ 5. Вспомогательные задачи 111
§ 6. Параллельность и перпендикулярность прямых 113
§ 7. Графическое решение уравнений и неравенств 117
§ 8. Сечение семейством прямых у-а 119
§ 9. Сечение семейством прямых у = х + а 123
§ 10. Сечение семейством прямых у-ах 129
§ 11. Касание параболы и прямой 133
Задачи для самостоятельного решения 152
ГЛАВА 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
§ 1. Вводные замечания 155
§ 2. Исследование линейных систем методом подстановки 157
§ 3. Соотношения между коэффициентами системы в зависимости от числа решений 172
§ 4. Геометрическая интерпретация решений 175
Задачи для самостоятельного решения 176
ГЛАВА 8 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 179
§ 1. Методы решения 179
Задачи для самостоятельного решения 190
§ 2. Аналитические методы исследования нелинейных систем с параметрами 191
Задачи для самостоятельного решения 206
§ 3. Графические методы исследования нелинейных систем с параметрами 208
Задачи для самостоятельного решения 232
ГЛАВА 9 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ 235
Задачи для самостоятельного решения 271
ОТВЕТЫ 275
Глава 1 275
Глава 2 275
Глава 3 277
Глава 4 279
Глава 5 283
Глава 6 288
Глава 7 296
Глава 8 298
Глава 9 306
ЛИТЕРАТУРА 313.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Сборник задач с параметрами
Этот раздел посвящен решению различных типов уравнений и неравенств с параметром (задания типа С5). Сюда не включаются задачи из известных книжек, решения которых размещены в разделе ЕГЭ.
Все задачи я условно разделю на три группы (А, В и С) по возрастанию сложности. Конечно, это деление достаточно субъективно.
Задача П45 ( Уровень В )
Найти все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит какой-либо луч на числовой прямой?
Задача П44 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?
Задача П43 ( Уровень В )
Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество з начений функции
содержит полуинтервал (-1;3]. Определить при каждом таком р множество значений функции f(x). Решение…
Задача П42 ( Уровень В )
Найдите все значения величины х, удовлетворяющие неравенству
хотя бы при одном значении а, принадлежащем промежутку [-2;1] МГУ,мехмат 1992 Решение…
Задача П41 ( Уровень В )
имеет хотя бы одно целочисленное решение (х,у) Решение…
Задача П40 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?
Задача П39 ( Уровень В )
При каких значениях а уравнение имеет хотя бы одно решение? МГУ, мехмат, 1996 год
Задача П38 ( Уровень С)
Найти все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.
Задача П37 ( Уровень С )
Задача П36 ( Уровень А )
Задача П35 ( Уровень С )
Найдите все неотрицательные значения параметра а, при которых уравнение
Задача П34 ( Уровень С )
Найти все а, при которых уравнение 
имеет 2 корня и между этими
корнями расположен ровно один корень уравнения
МГУ мехмат 2000
Задача П33 ( Уровень В )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства не меньше 1. МГУ, мехмат 1999 г.
Задача П32 ( Уровень А )
Найти все значения параметра а, при которых неравенство 
не имеет решений на отрезке [-1;2]
Задача П31 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а уравнение
Задача П30 ( Уровень В )
Найти наибольшее значение а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.
Задача П29 ( Уровень А )
При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение?
Задача П28 ( Уровень В )
Задача П27 ( Уровень В )
При каких значениях параметра а неравенство 
и меет единственное решение? Решение…
Задача П26 ( Уровень А )
Найдите все решения уравнения 
для тех значений параметра k при которых уравнение имеет два корня, максимальный из которых в 3 раза больше минимального.
Задача П25 ( Уровень В )
Найдите значения все параметра р, при которых уравнение 
имеет ровно 3 различных корня. Решение…
Задача П24 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число различных корней уравнения
равно числу различных корней уравнения 
Решение…
Задача П22 и П23 ( Уровень А )
Найдите значения а, при которых уравнение
имеет единственное решение
Найдите значения а, при которых уравнение 
имеет 3 корня.
Эти задачи я объединил потому, что в их решении используется один общий метод. Решение…
Задача П21 ( Уровень В )
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно 2 корня.
Задача П20 ( Уровень С )
Найдите все значения а, при которых каждое из уравнений 
и 
имеет хотя бы один корень. Решение…
Задача П19 ( Уровень А )
Задача П18 ( Уровень А )
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение и меет ровно 2 корня.
Задача П17 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень.
Задача П16 ( Уровень В )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет шесть корней.
Задача П15 ( Уровень С )
Задача П14 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых количество различных корней уравнения
Задача П13 ( Уровень С )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
является отрезком длины меньше 1. Решение…
Задача П12 ( Уровень В )
Даны два уравнения:
Значение параметра р выбирается таким образом, что число различных корней второго уравнения в сумме с числом
Задача П11 ( Уровень В )
Решение…
Задача П10 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений
Задача П9 ( Уровень С )
Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнениеимеет три решения.
Задача П8 ( Уровень А )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения неравенств
и 
содержат только одно целое число. Решение…
Задача П7 ( Уровень В )
Найдите все значения х, каждое из которых хотя бы при одном значении параметра а удовлетворяет неравенству
Задача П6 ( Уровень В )
Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции
содержит ровно два целых числа. Решение…
Задача П5 ( Уровень B )
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
верно при всех значениях переменной х. Решение…
Задача П4 ( Уровень В )
Задача П3 ( Уровень А )
Найдите все значения переменной х, при каждом из которых неравенство 
верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3 ; 6]. Решение…
Задача П2 ( Уровень А )
Найти все значения параметра а, при которых выражение 
больше выражения 
при любом значении х, принадлежащем промежутку (2, 5)
Задача П1 ( Уровень С )
Найти все значения а, при каждом из которых оба числа 
и 
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18
И знать здесь действительно нужно много.
Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).
И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.
Вот основные типы задач с параметрами:
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:
1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.
Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.
4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!