Стандартное отклонение оценки b для параметра b вычисляется по формуле

Стандартное отклонение оценки b для параметра b вычисляется по формуле

211. Отличие одностороннего теста от двустороннего заключается в том, что он имеет только
• одно критическое значение

212. Относительная ошибка прогноза определяется как:
•

213. Оценивание каждого параметра в уравнении регрессии поглощает __________________ свободы в выборке.
• одну степень

214. Оценка a для параметра уравнения парной регрессии при использовании МНК вычисляется по формуле a =
•

215. Оценка b для параметра уравнения парной регрессии при использовании МНК вычисляется по формуле b =
•

216. Оценка ρ, полученная МНК для авторегрессионной схемы первого порядка рассчитывается по формуле __________________, e_k — остатки в наблюдениях.
• cov (e_k-1, e_k) / var (e_k-1)

217. Оценка параметра а для модели множественной регрессии в случае двух независимых переменных вычисляется по формуле: а =
•

218. Оценка параметра находится __________________ доверительного интервала.
• в центре

219. Оценка параметров в лаговой структуре Койка делается:
• решетчатым методом

220. Оценка стандартного отклонения случайной величины, полученная по данным выборки, называется стандартной __________________ случайной величины.
• ошибкой

221. Первое условие Гаусса-Маркова заключается в том, что __________________ для любого i.
• М (u_i) = 0

222. Первый шаг метода Зарембки заключается в вычислении __________________ y по выборке.
• среднего геометрического

223. Пересмотр оценок в методе Кокрана-Оркатта выполняется до тех пор, пока не будет __________________ оценок.
• получена требуемая точность

224. Плоскость регрессии y = a + b₁x₁ + b₂x₂ — двумерная плоскость в __________________ пространстве.
• трехмерном

225. Подбор порядка аппроксимирующего полинома производится при помощи
• метода последовательных разностей

Источник

Стандартное отклонение оценки b для параметра b вычисляется по формуле

271. Спектральная плотность может принимать __________________ значения.
• только положительные

272. Спектральная плотность связана с интенсивностью согласно формуле
•

273. Спецификация запаздываний применительно к переменным в модели называется:
• лаговой структурой

274. Способ оценивания (estimator) — общее правило для получения __________________ какого-либо параметра по данным выборки.
• приближенного численного значения

275. СС(1)-процесс обратим при:
•

276. СС(2)-процесс обратим лишь при условии, что корни его характеристического уравнения лежат:
• вне единичного круга

277. Стандартное отклонение оценки b для параметра β вычисляется по формуле
•

278. Стандартное отклонение оценки а для параметра a вычисляется по формуле
•

279. Стандартное отклонение случайной величины характеризует среднее ожидаемое расстояние между наблюдениями этой случайной величины и ее:
• математическим ожиданием

280. Стандартные отклонения коэффициентов регрессии обратно пропорциональны величине __________________, где n — число наблюдений.
•

281. Стандартные ошибки, вычисленные при гетероскедастичности
• занижены по сравнению с истинными значениями

282. Статистика Дарбина-Уотсона проверяет нулевую гипотезу Н_о:
• отсутствие автокорреляции

283. Статистика для теста ранговой корреляции Спирмена имеет __________________ распределение.
• нормальное

284. Статистика критерия Дарбина-Уотсона вычисляется по формуле __________________, где e_k — остатки в наблюдениях авторегрессионной схемы первого порядка.
•

Источник

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.

Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.

Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).

Стандартное отклонение также называется:

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

4. Сделать сумму полученных значений:

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

6. Найти квадратный корень:

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

5. Нажмите Ввод (Enter).

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.

Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:

Источник

Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

s 2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Расчет дисперсии в Excel

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А 2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

На практике формула стандартного отклонения следующая:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных.

Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

Источник

Эконометрика: Парная и множественная регрессия (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Условия Гаусса–Маркова для модели парной регрессии:

1) случайный член регрессии в каждом наблюдении имеет нулевое математическое ожидание: , для любого i;

2) дисперсия случайного члена регрессии не зависит от номера наблюдения i;

3) случайные члены регрессии в разных наблюдениях не зависят друг от друга, то есть если i¹j;

4) случайный член регрессии и объясняющая переменная в каждом наблюдении независимы друг от друга, то есть для любого i.

Рассмотрим теперь эти условия более подробно.

1-е условие Гаусса–Маркова: , для любого i.

Иногда случайный член будет положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематическое смещение ни в одном из двух возможных направлений. Фактически, если уравнение регрессии включает постоянный член, то обычно бывает разумно предположить, что это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в у, которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

2-е условие Гаусса–Маркова: постоянна для всех наблюдений.

Иногда случайный член будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы он порождал большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других.

Данное условие можно записать в виде , для всех i.

Так как , то данное условие можно переписать в виде , для всех i.

3-е условие Гаусса–Маркова: если i¹j.

Это условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в двух любых наблюдениях. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и положительным, или малым и отрицательным). Случайные члены должны быть абсолютно независимы друг от друга.

В силу того, что , данное условие можно записать следующим образом:

.

Если это условие не будет выполнено, то регрессия, оцененная по обычному методу наименьших квадратов, вновь даст неэффективные результаты, а эффект, вызванный нарушением этого условия, называется автокорреляцией.

4-е условие Гаусса–Маркова: для любого i.

Часто используется более сильное предположение о том, что объясняющая переменная не является стохастической, т. е. не имеет случайной составляющей. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, то есть полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.

Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между зависимой переменной и случайным членом равна нулю. Так как , то

.

Следовательно, данное условие можно записать также в виде: .

Наряду с условиями Гаусса–Маркова обычно также предполагается нормальность распределения случайного члена. Если случайный член u нормально распределен, то также будут распределены коэффициенты регрессии a и b.

Теорема

Если выполнены условия Гаусса–Маркова для модели парной регрессии, то МНК дает несмещенные, эффективные и состоятельные оценки параметров регрессии а и b.

При невыполнении предположений 1) и 4) нарушается свойство несмещенности. Если предположения 2) и 3) нарушены (т. е. дисперсия возмущений непостоянна и/или значения связаны друг с другом), то нарушается свойство эффективности.

Докажем, что b будет несмещенной оценкой b. Из (3.1) следует, что

.

Таким образом, b – несмещенная оценка b. Можно получить тот же результат со слабой формой 4-го условия Гаусса–Маркова (которая допускает, что переменная x имеет случайную ошибку, но предполагает, что она распределена независимо от u).

За исключением того случая, когда случайные факторы в n наблюдениях в точности “гасят” друг друга, что может произойти лишь при случайном совпадении, b будет отличаться от b в каждой конкретной выборке. Несмещенность можно доказать и для коэффициента а.

Коэффициент регрессии a можно найти по формуле (2.6), которая имеет вид:

При выполнении 4-го условия Гаусса–Маркова, при котором , будет

.

Поскольку y определяется моделью парной регрессии (2.1), и если предположить, что выполнено 1-е условие Гаусса–Маркова, т. е. , то

.

Если перейти к средним значениям будет, то

Получим: .

Таким образом, а и b – несмещенные оценки параметров a и b при выполнения 1-го и 4-го условий Гаусса–Маркова. Безусловно, для каждой конкретной выборки фактор случайности приведет к расхождению оценки и истинного значения.

Можно доказать, что оценки a и b, полученные методом наименьших квадратов, являются состоятельными и эффективными. Условие состоятельности будет следовать непосредственно из вида стандартных отклонений, а доказательство условия эффективности более трудоемко, поэтому проводиться нами не будем.

Ранее рассматривали оценки математического ожидания m случайной величины x по данным выборочных наблюдений. Хотя использовалось выборочное среднее , было показано, что оно является лишь одной из возможных несмещенных оценок этого параметра. Причина предпочтения выборочного среднего всем другим оценкам состоит в том, что при определенных предположениях оно является состоятельной и эффективной оценкой.

Аналогичные рассуждения применимы и к коэффициентам регрессии. Можно провести прямую линию, черед два произвольных наблюдения и посмотреть, будут ли коэффициенты данной линии несмещенными оценками параметров модели. Возьмем первое и последнее наблюдение, тогда уравнение прямой будет иметь вид:

.

Выразив y, получаем уравнение

. (3.2)

Каковы свойства коэффициентов этого уравнения? Сначала мы исследуем, является ли оценка несмещённой. Имеем

Если выполняется первое условие Гаусса–Маркова, т. е. , то эта, на первый взгляд, “наивна” оценка является несмещенной. Аналогично, можно показать, что и оценка также является несмещенной оценкой для коэффициента a. Доказать данное утверждение несложно, поэтому можно провести его самостоятельно.

Это, разумеется, не единственная оценка, которая наряду с оценкой, полученной методом МНК, обладает свойством несмещенности. Можно получить сколько угодно оценок такого типа путем объединения двух или большего количества произвольно выбранных наблюдений. При этом, для их несмещенности достаточно потребовать выполнение первого условия Гаусса–Маркова.

При сравнении с менее “наивными” оценками превосходство оценки МНК в эффективности может быть не столь очевидным. Тем не менее, в том случае, если условия Гаусса–Маркова для остаточного члена выполнены, коэффициенты регрессии, построенной обычным методом наименьших квадратов, будут наилучшими линейными несмещенными оценками (best linear unbiased estimators, или BLUE).

3.2. Стандартные отклонения и стандартные ошибки коэффициентов регрессии

Рассмотрим теперь теоретические дисперсии оценок а и b. Они задаются следующими выражениями

, (3.3)

. (3.4)

Из уравнений можно сделать три очевидных заключения.

1. Данные оценки являются состоятельными. Поскольку значение n находится в знаменателе, то дисперсии стремятся к нулю, при увеличении числа элементов в выборке.

2. Дисперсии a и b прямо пропорциональны дисперсии остаточного члена . Чем больше фактор случайности, тем хуже будут оценки при прочих равных условиях.

3. Чем больше дисперсия x, тем меньше будет дисперсия коэффициентов регрессии. В чем причина этого? Коэффициенты регрессии вычисляются на основании предположения, что наблюдаемые изменения y происходят вследствие изменений x, но в действительности они лишь отчасти вызваны изменениями x, а отчасти вариациями u. Чем меньше дисперсия x, тем больше будет влияние случайного фактора при определении отклонений y. В действительности важнее не абсолютные значения величин и , а их отношение.

На практике, как правило, нельзя вычислить теоретические дисперсии a или b, так как дисперсия случайного члена модели регрессии неизвестна. Однако можно получить оценку на основе остатков. Выборочная дисперсия остатков , которую мы можем измерить, сможет быть использована для оценки , которая имеет тенденцию занижать . Действительно, можно показать, что математическое ожидание , если имеется всего одна независимая переменная, будет

.

Следовательно, , будет несмещенной оценкой .

Если рассматривать не дисперсии, а суммы квадратов отклонений, то несмещенной оценкой параметра регрессии является оценка , где ESS – необъясненная сумма квадратов отклонений.

Поскольку имеется дисперсии коэффициентов регрессии (3и оценки данных значений, необходимо разделять данные понятия, следовательно, необходимы следующие определения:

стандартное отклонение случайной величины – корень квадратный из дисперсии случайной величины;

стандартная ошибка случайной величины – оценка стандартного отклонения случайной величины, полученная по данным выборки. Стандартная ошибка функции коэффициента регрессии будем обозначать в виде и . Таким образом, для парного регрессионного анализа имеем следующие оценки дисперсии и стандартные ошибки:

, (3.5)

,

Как правило, при работе в специализированных пакетах, стандартные ошибки (а не стандартные отклонения) будут подсчитаны автоматически одновременно с оценками а и b.

Подводя итог можно заключить:

1. Оценка a для параметра a имеет нормальное распределение с математическим ожидание a и стандартным отклонением ;

2. Оценка b для параметра b имеет нормальное распределение с математическим ожидание b и стандартным отклонением ;

3. На практике, как правило, значение стандартного отклонения подсчитать невозможно, поэтому необходимо вычислять стандартные ошибками и , используя формулы (3.5) и (3.6).

§ 4. Некоторые распределения

До сих пор мы формально использовали термин нормально распределенная случайная величина. Сейчас рассмотрим основные свойства нормального распределения, а так же рассмотрим некоторые распределения, которые понадобятся для дальнейшего изложения.

4.1. Функция распределения и плотность распределения

Непрерывная случайная величина X может принимать значения из некоторого интервала. Вероятность того, что X примет значение, меньшее вещественного x, называется функция распределения случайной величины и определятся следующим образом . Иногда данную функцию называют интегральной функцией распределения.

В теории вероятностей принято обозначить случайные величины прописными (заглавными) буквами. Именно такое обозначение будет использоваться в данном параграфе.

Функция распределения для непрерывной случайной величины везде непрерывна, является неубывающей функций, при этом

При помощи функции распределения можно определить вероятность того, что случайная величина попадет в некоторый полуоткрытый полуинтервал.

Вычислим вероятность попадания случайной величины в некоторый малый интервал . Рассмотрим отношения этой вероятности к длине этого участка. Устремив к нулю, в пределе получим функцию производную от функции распределения

Функция f(x) называется плотностью распределения случайной величины (дифференциальной функцией распределения).

Плотность распределения является неотрицательной функцией, вследствие неубывания функции распределения и интеграл от минус до плюс бесконечности от функции плотности равняется 1:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал через плотность распределения: .

4.2. Нормальное распределение

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины на интервале (-¥, +¥) задается формулой:

, (4.1)

а функция распределения

. (4.2)

Основные характеристики данного распределения имеют следующие значения , . Обычно нормально распределенная случайная величина обозначается следующим образом: .

Если случайная величина формируется под действием большого количества независимых факторов, вклад каждого из которых в значение случайной величины мал, то в силу центральной предельной теоремы эта случайная величина будет иметь нормальное распределение. В роли таких величин в экономике могут выступать: объем продаж, суммарные инвестиции, суммарное потребление домашних хозяйств и тому подобные величины, имеющие аддитивную природу, то есть складывающиеся из многих малых взаимно независимых величин.

Рассмотрим основные свойства нормального распределения. Главное из них – если ряд случайных величин имеет нормальное распределение, то их сумма или любая линейная комбинация также будет иметь нормальное распределение.

Распределение величины , представляющей собой взвешенную сумму n независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами и , также будет иметь нормальное распределение с параметрами и . В частности, если все , все и одинаковы, то случайная величина имеет следующие характеристики: , .

Подобная случайная величина нами уже изучалась ранее. Данная величина называется выборочное среднее.

Плотность вероятности нормального распределения (4.1) пропорциональна безразмерной величине, , где z – определяемая выражением . Поэтому плотность нормального распределения экспоненциально убывает при удалении от среднего значения m. Случайная величина z имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Она, как и исходная случайная величина x, нормально распределена, но не зависит от каких-либо параметров. Поэтому ее распределение может быть протабулировано, то есть значения её плотности вероятности могут быть представлены в виде таблиц. Эта функция называется плотностью стандартного нормального распределения, а сама случайная величина стандартно нормальной и обозначается . На практике чаще используют таблицы значений функции распределения стандартной нормальной величины (приложение 1).

Операцией нормализации называется переход от произвольной случайной величины X к величине Z, определенной по правилу .

Источник