Стохастические сети массового обслуживания и их параметры

21.07.202207.08.2022 admin 0 Comments

30.Стохастические сети массового обслуживания: определение, классификация, характеристики, область применения.

Стохастические сети массового обслуживания

СеМО – это совокупность одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания.

Р еальные СеМО состоят из более 100 СМО.

а) Одноканальная СМО

По типу сетей. Признаки:

Открытая (разомкнутая) СеМО. Есть входной поток заявок ₀, есть выходной поток заявок.

Замкнутая СеМО. Ни входных, ни выходных потоков заявок нет. М – фиксированное число заявок, циркулирующих в сети.

а) Разомкнутая СеМО б) Замкнутая СеМО

Замкнутых СеМО в реальной жизни практически нет, они используются как математическая модель для имитации систем мультипрограммирования многотерминальных систем и т.д..

По типу закона распределения времени обслуживания и входного потока сети бывают:

Экспоненциальные, т.е. состоящие из систем типа М/М/1 и М/М/n.

Неэкспоненциальные, т.е системы D/D/1 или Е/M/1 или E/E/n

Будем рассматривать открытые и закрытые экспоненциальные сети.

Параметры стохастических сетей

Число систем массового обслуживания n

Матрица вероятностей (вероятностей перехода из одной системы обслуживания в другую) передач.

P_ij – вероятность того, что после обслуживания в СМО S_i заявка перейдет в СМО S_j.

S₀ – бесконечный источник заявок (в нем всегда есть заявки)

Число заявок, циркулирующих в сети (для замкнутой сети) m

Или интенсивность источника (для разомкнутой сети) ₀

31.Определение интенсивностей потоков и коэффициентов передачи.

Определение интенсивностей потоков и коэффициентов передачи

Данную СеМО желательно свести к виду:

Задана матрица переходных вероятностей.

Составляем систему уравнений:

Система уравнений может быть записана в каноническом виде:

(*)

В сети с обратными связями показывает, сколько раз в процессе решения задач она проходит через СМО S_j 0 -1

Источник

Тема 6. Системы массового обслуживания (СМО)

Цель

Ознакомить с понятиями:

Понятие СМО

Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

Выходы на взлетно-посадочные полосы

Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.

Рис. 1

Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках [2] выделяются также следующие составляющие:

терминатор – уничтожитель трансактов;

склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;

счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;

менеджер – распорядитель ресурсов;

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

Характеристики системы массового обслуживания

Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:

Входной поток требований

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

А_i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;

E(A) – среднее (МО) время поступления;

λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;

Характеристики входного потока:

Дисциплина очереди

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

first in first out (FIFO)

самый распространенный тип очереди.

Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.

Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.

Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.

Действия со списком:

Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;

Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.

Характеристики очереди

Механизм обслуживания

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:

Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

S_i – время обслуживания i-го требования;

E(S) – среднее время обслуживания;

μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.

Коэффициент использования СМО

N·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.

ρ=λ/(Nμ) – называется коэффициентом использования СМО, показывает, насколько задействованы ресурсы системы.

Структура обслуживающей системы

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани.

Пример. Кассы в магазине.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Пример. Медицинская комиссия.

Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.

Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

Основные критерии эффективности функционирования СМО

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина

Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.

D_i – задержка в очереди требования i;

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).

Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;

L(t) – число требований в системе в момент времени t(Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.

Заметим, что ρ 1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.

К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения

Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N>1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.

Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:

Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/1 по формуле:

В России эта формула известна как формула Поллачека–Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).

Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Рассмотрим непрерывные марковские цепи, которые характеризуют процессы гибели и размножения. Количество событий соответствует количеству каналов. S₀ – событие «все свободны, нет занятых каналов»; S₁ – один канал занят, и т. д. Таким образом имеем процесс, в котором каждому событию соответствует целое число, которое характеризует количество занятых каналов. Событие заключается в том, что количество занятых каналов может уменьшиться на 1, или увеличиться на 1.

Простейшая одноканальная модель

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид:

, где λ – интенсивность поступления заявок;

Плотность распределения длительностей обслуживания:

, где μ – интенсивность (скорость) обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

1-й случай. Поток заявок поступает в систему без очереди. Так называемая система с отказами.

Система имеет два состояния:

Переход из состояния S₀ в состояние S₁ происходит с интенсивностью λ, из состояния S₁ в состояние S₀ – с интенсивностью μ.

Возможны два подхода к решению задачи.

1-й путь. С помощью уравнений Колмогорова

Здесь на самом деле только одно уравнение, т. к.

Начальное условие p₀(0)=0– канал свободен.

Линейное неоднородное уравнение 1-го порядка (см. лекцию 2).

Видно, что данное решение имеет стационар

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы.

Действительно, Р₀(t) – вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту tt, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно Р₀(t).

Вероятность того, что в обслуживании будет отказано .

Абсолютная пропускная способность канала

2-й путь. Статистическое моделирование с использованием метода Монте-Карло.

На практическом занятии рассмотрим этот путь и сравним результаты моделирования с теоретическим решением.

Приложение. Трансакты и их «семейства»

В некоторых программных средах, например, в отечественной системе Pilgrim [2], предназначенных для имитационного моделирования экономических процессов, используется понятие трансакта.

Трансакт – это формальный запрос на какое-либо обслуживание. Трансакт имеет набор динамически изменяющихся особых свойств и параметров. Пути следования трансакта по графу модели определяются логикой функционирования компонентов модели. Трансакт может порождать группы (семейства) других трансактов.

Источник