Чему эквивалентен arctg x
Таблица эквивалентных
Таблица эквивалентных
Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые. Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [latex][\frac<0><0>][/latex]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы[latex]x\rightarrow 0[/latex] в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.
Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу [latex]x\rightarrow 0[/latex], для простоты записи будем писать знак [latex]\sim[/latex] вместо [latex]_
| [latex]sinx \sim x [/latex] | [latex]e^ |
| [latex]tgx\sim x[/latex] | [latex]a^ |
| [latex]arcsinx\sim x[/latex] | [latex]ln(1+x)\sim x[/latex] |
| [latex]arctgx\sim x[/latex] | [latex](1+x)^<\alpha >-1\sim \alpha x[/latex] |
| [latex]shx\sim x[/latex] | [latex]1-cosx\sim \frac |
Докажем некоторые утверждения:
Арктангенс и арккотангенс. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Арктангенс и арккотангенс − теория, примеры и решения
Функция арктангенс и ее график
 |
Однако, функцию тангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:
 ,  ,  ,  и т.д. |
По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция tg x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке 
. Обратную функцию обозначают x=arctg y. Поменяв местами x и y, получим:
Функция (1) − это функция, обратная к функции
График функции арктангенс можно получить из графика функции 
с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).
 |
Свойства функции арктангенс.
Решим тригонометрическое уравнение
В интервале 
для уравнения (2) существует одно t, для которого tg t=a. Это решение
Следовательно в интервале уравнение (2) имеет один корень. Так как тангенс периодичная функция с основным периодом π, то все корни уравнения (2) отличаются на πn (n∈Z), т.е.
Решение уравнения (2) представлен на Рис.3:
 |
Так как tg t − это ординат точки пересечения прямой OMt1 c прямым x=1, то для любого a на линии тангенса есть только одна точка T(1; a). Прямая OTt пересекается с окружностью с радиусом 1 в двух точках: 
. Но только точка 
соответствует интервалу , которое соответствует решению 
.
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:
Решение. Воспользуемся формулой (3):
Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:
Решение. Воспользуемся формулой (3):
Используя онлайн калькулятор получим:
Функция арккотангенс и ее график
 |
Однако, функцию кокотангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:
  |
По теореме об обратной функции, на каждом из указанных интервалов функция ctg x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке 
. Обратную функцию оброзначают x=arcctg y. Поменяв местами x и y, получим:
Функция (4) − это функция, обратная к функции
График функции арккотангенс можно получить из графика функции 
с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).
 |
Свойства функции арккотангенс.
Решим тригонометрическое уравнение
В интервале (0; π) для уравнения (5) существует одно t, для которого сtg t=a. Это t=arcctg a. Следовательно в интервале (0; π) уравнение (5) имеет один корень. Так как котангенс периодичная функция с основным периодом π, то общее решение уравнения (5) имеет следующий вид:
Решения уравнения (5) можно представить на единичной окружности (Рис.6):
 |
ctg t − это абсцис точки пересечения прямой 
с прямым y=1. Любому числу a на линии котангенс соответствует только одна точка 
. Прямая 
пересекется с единичной окружностью в двух точках 
. Но только точка 
соответствует интервалу (0; π), которое соответствует решению 
.
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:
Решение. Воcпользуемся формулой (6):
Так как в интервале (0; π)
, то
Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:
Решение. Используя формулу (6), имеем
С помощью онлайн калькулятора вычисляем 
. Тогда
Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов
Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Запишем предел вида
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )
Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )
Предел принимает вид
lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1
Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1
Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.
Производится подстановка значений
После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:
Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что
Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что