Через блок перекинута веревка таким образом что ее висящие концы

Коржов Н.И. Задача о веревке на блоке

Коржов Н.И.Задача о веревке на блоке // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2003. – № 2. – С. 110-116.

Рассмотрим широко известную задачу (см. [1]-[5]), условие которой сформулируем следующим образом.

Однородная гладкая веревка массой m и длиной L переброшена через блок. В начальный момент веревка висит симметрично и покоится, а затем в результате незначительного толчка начинает двигаться по блоку. Какова скорость υ конца веревки в тот момент, когда с одной стороны блока свешивается большая часть веревки длиной x? Чему равно ускорение a конца веревки в этот момент? С какой силой F веревка давит на блок в этот момент? Чему равны силы натяжения веревки T_t и T₂ в точках 1 и 2 (рис. 1)? Массой блока пренебречь, радиус блока считать малым, веревка нерастяжима.

Приступая к решению задачи, допустим, что веревка натянута в каждом своем сечении, что важно для дальнейших рассуждений. В частности, в этом случае модули линейных скоростей всех элементов веревки равны, что позволяет легко вычислять кинетическую энергию веревки. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне оси блока. Тогда в начальный момент потенциальная энергия веревки

так как центр масс ниже нулевого уровня на L/4. В момент, когда с одной стороны свешивается часть веревки длиной xи массой (ее центр масс ниже оси блока на x/2), а с другой — часть веревки длиной и массой (ее центр масс ниже оси блока на , потенциальная энергия всей веревки

Тогда из закона сохранения механической энергии легко найти скорость конца веревки υ:

(1)

Перейдем к нахождению ускорения конца веревки. Поскольку зависимость для скорости известна, оптимальным способом будет нахождение ускорения в соответствии с определением

Из соотношения (1) найдем

и, учитывая, что по определению

(2)

Для определения сил натяжения веревки в точках 1 и 2 в литературе [4] (задача 8.20), [6] для левого и правого концов веревки составляется система уравнений, аналогичная стандартной системе уравнений для движения грузов массами m₁и m₂,связанных невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (рис. 2):

(*)

Из этой системы следует, что

(3)

(4)

Кстати, формула ускорения, получаемая из системы (*), имеет вид (2).) Однако, если по формуле (4) найти ответ к задаче 2.4.13 из [5] (при ), то получим , хотя в книге ответ другой: . В чем же дело? И какой ответ правильный? Оказывается, второй, а значит, формулы (3) и (4) неверны. В [6] сделана попытка объяснить это различие тем, что «небольшой блок может сыграть дурную шутку: ведь часть веревки, которая находится на блоке, обладает центростремительным ускорением и таким образом «съедает» часть силы давления». Далее находится эта часть . Такой подход представляется формальным и недостаточно обоснованным, ибо не позволяет выявить истинную причину правильности второго ответа. К тому же формула (3) остается даже при таком подходе, а она неверна, что мы и покажем ниже.

Попробуем корректно найти силы, о которых идет речь в задаче. Главный источник ошибки при выводе формул (3) и (4) — игнорирование того факта, что второй закон Ньютона в форме

применим только к простейшей модели — материальной точке (или поступательно движущемуся абсолютно твердому телу). Веревка же в описанной ситуации ею не является, она даже поступательно не движется. Более того, в отличие от аналогичной ситуации с грузами на невесомой веревке, массы левого и правого концов веревки все время изменяются. В этой ситуации необходимо применять закон изменения импульса системы точек в форме

(5)

где — изменение суммарного импульса системы точек за время Δt, а — векторная сумма внешних сил, действующих на тела системы.

Рассмотрим два возможных варианта дальнейшего решения задачи. Поскольку блок мал, массой части веревки, прилегающей к блоку, пренебрегаем.

Решение 1. Формулу (5) будем применять для правого и левого концов веревки отдельно, что очень удобно с точки зрения равенства скоростей и ускорений всех точек данного конца веревки. Так как изменяется и масса m₁ свисающего конца веревки, и его скорость, то

Учитывая определение ускорения и то, что

(знак «+» — при увеличении массы, знак «–» — приуменьшении массы), перепишем (5) в виде

(6)

Тогда для левого конца веревки (сила T₁ являетсядля него внешней) (см. рис. 2)

(7)

откуда с учетом (1) и (2)

Аналогично для правого конца веревки

откуда с учетом (1) и (2)

(8)

Таким образом, . (Сравните формулы (3) и (8).) Значит, веревка давит на блок с силой

(9)

При получаем ,

при — (см. выше).

Решение 2. Формулу (5) применяем для всей веревки (рис. 3):

(10)

Пусть за время Δt левый конец веревки сместился на Δx, а скорость его увеличилась на Δυ. Тогда с учетом направления движения концов веревки запишем проекции начального импульса

и конечного импульса всей веревки

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, содержащим произведение , для проекции изменения импульса имеем:

Учитывая определения скорости и ускорения и формулу (10), получим

Так как по третьему закону Ньютона , то, учитывая (1) и (2), окончательно имеем:

Проанализируем формулы (8) и (9). Решив квадратное уравнение

получим, что при длине левого конца веревки

веревка перестанет действовать на блок. Очевидно, что

Таким образом, формулы (1), (2), (7)-(9) перестают быть справедливыми при . Значит, веревка перестанет действовать на блок раньше, чем вся она соскользнет с блока и станет невесомой. При длине веревки 1 м длина короткого конца веревки в этот момент составит весьма заметную величину порядка 14 см. В этот момент модель, принятая нами, перестанет действовать. Натяжение веревки в точках 1 и 2 исчезает. Точно описать поведение всей веревки в дальнейшем мы не можем. Для этого необходимо знать силы натяжения веревки в ее различных сечениях. (Можно провести наблюдение за скольжением металлической цепочки с мелкими звеньями по стеклянной палочке и направлением падения ее верхнего конца.) Правомерно ли в таком случае требовать нахождения скорости веревки (как единого целого) в тот момент, когда она сойдет с блока (подразумевается прохождение конца вертикально расположенной веревки через точку 1),если мы не уверены в том, что все точки веревки двигаются с одинаковой линейной скоростью? А ведь именно так стоит вопрос к этой задаче в большинстве сборников задач ([1]-[3]).

И последнее. Почему выражение, получаемое для ускорения из заведомо ложной системы уравнений (*), получается правильным? Очевидно, это происходит потому, что при сложении выражений, предшествующих (7) и (8), слагаемые компенсируют друг друга (поскольку они имеют противоположные знаки). При этом получается точно такое же уравнение, как и при сложении уравнений системы (*).

1. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения. — М.: Мир, 1967.

2. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. — М.: Высш. шк., 1975.

3. Сборник задач по физике / Под ред. С.М.Козела. — М.: Наука, 1990.

4. Гельфгат И.М., Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А. 1001 задача по физике с ответами, указаниями, решениями. — М.: Илекса, 2001.

5. Задачи по физике / Под ред. О.Я.Савченко. — М.: Наука, 1988.

6. Корсунский Б. Внимание: ловушка! // Квант. — 1992. — № 7.

Источник

Через блок перекинута веревка таким образом что ее висящие концы

Лёгкая рейка может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О. Рейка уравновешена при помощи двух грузов, которые прикреплены к рейке лёгкими нитями, перекинутыми через идеальные блоки так, как показано на рисунке. Груз 1 имеет массу 4 кг.

Установите соответствие между физическими величинами и их значениями в единицах СИ. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Б) момент силы натяжения нити, прикреплённой в точке B, относительно оси, проходящей через точку О

Поскольку блоки невесомы, то по второму закону Ньютона

Рейка находится в равновесии, а значит, моменты сил, действующих на рейку равны:

(А — 1)

Момент силы натяжения нити, прикреплённой в точке B, относительно оси, проходящей через точку О тогда равен:

(Б — 2)

Расставим силы, действующие на рейку. Рейка находится в покое, следовательно, моменты всех сил уравновешены: откуда

Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, следовательно, Запишем силу Архимеда: Подставляя эти выражения в уравнение для связи силы Архимеда и силы натяжения получаем: откуда

Расставим силы, действующие на рейку. Рейка находится в покое, следовательно, моменты всех сил уравновешены: откуда

Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, следовательно, Запишем силу Архимеда: Подставляя эти выражения в уравнение для связи силы Архимеда и силы натяжения получаем: откуда

Аналоги к заданию № 11680: 11864 Все

Лёгкая нить, привязанная к грузу массой m = 0,4 кг, перекинута через идеальный неподвижный блок. К правому концу нити приложена постоянная сила Левая часть нити вертикальна, а правая наклонена под углом к горизонту (см. рисунок). Постройте график зависимости модуля силы реакции стола N от F на отрезке 0 ≤ F ≤10 Н. Ответ поясните, указав, какие физические явления и закономерности Вы использовали для объяснения. Сделайте рисунок с указанием сил, приложенных к грузу.

1. Если сила достаточно мала, груз покоится относительно стола (эту систему отсчёта будем считать инерциальной). На груз при этом действуют сила тяжести сила реакции со стороны стола и сила натяжения нити показанные на рис. 1. Запишем второй закон Ньютона для груза в проекциях на ось y введённой системы отсчёта: Поскольку нить лёгкая, а блок идеальный, модуль силы натяжения нити во всех точках одинаков, поэтому T = F. Отсюда получаем: при

2. При груз отрывается от стола и движется вдоль оси y с ускорением. На груз при этом действуют только сила тяжести и сила натяжения нити показанные на рис. 2, а модуль силы реакции стола N = 0. Таким образом:

а) при

б) при

3. График этой зависимости представляет собой ломаную линию.

На рисунке изображена механическая система, состоящая из двух идеальных блоков, двух невесомых и нерастяжимых нитей и трёх грузов массами m₁ = 3 кг, m₂ = m₃ = 2 кг, подвешенных на концах нитей. Определите, чему равна сила натяжения T₁ нити, к которой подвешен груз m₁.

1. Изобразим систему, нарисовав силы, действующие на её тела, и введя вертикальную ось координат x, направленную вниз (см. рис.). Силу натяжения второй нити обозначим через T₂. Как следует из условия, силы натяжения нитей по обе стороны каждого из блоков одинаковы, и T₁ = 2T₂.

3. Условие нерастяжимости обеих нитей может быть записано с использованием постоянства их длин, что приводит к уравнению 2х₁ + х₂ + х₃ = const, откуда получаем уравнение кинематической связи: 2a₁ + a₂ + a₃ = 0.

4. Поскольку по условию m₂ = m₃, то и ускорения этих грузов одинаковы: a₂ = a₃ = −a₁. Складывая уравнения движения этих грузов, получаем: 2m₂g − T₁ = −2m₂a₁, то есть можно считать, что справа просто подвешен груз массой 2m₂.

Ответ:

В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту h, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска М, длина свисающей части нити L, коэффициент трения между бруском и поверхностью Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

1. На брусок B, пока он не пришёл в движение, действует сила тяжести сила реакции опоры сила натяжения нити и сила трения покоя максимальное значение которой Для того, чтобы он пришёл в движение, должно выполняться условие

На грузик А в нижней точке траектории действует сила тяжести сила натяжения нити модуль которой равен модулю силы и равен При этом грузик в этой точке движется со скоростью и на него действует центростремительное ускорение направленное по радиусу к центру окружности и равное

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях:

3. По закону сохранения энергии потенциальная энергия грузика, поднятого на высоту равна кинетической энергии грузика в нижней точке траектории:

4. С учётом условия движения бруска получаем

Ответ:

В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L. Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска М, коэффициент трения между бруском и поверхностью Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

1. На брусок B, пока он не пришёл в движение, действуют сила тяжести сила реакции опоры сила натяжения нити и сила трения покоя максимальное значение которой Для того чтобы он пришёл в движение, должно выполняться условие

На грузик А в нижней точке траектории действуют сила тяжести и сила натяжения нити модуль которой равен модулю силы и равен При этом грузик в этой точке движется со скоростью то есть он движется с центростремительным ускорением направленным по радиусу к центру окружности и равным

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях:

3. По закону сохранения энергии потенциальная энергия грузика, поднятого на высоту равна кинетической энергии грузика в нижней точке траектории:

4. С учётом условия движения бруска получаем

Ответ:

В системе, изображённой на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 11 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,25). Найдите ускорение a₁ грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.

Для описания движения данной системы тел выбираем неподвижную систему отсчёта, одна ось () которой направлена вертикально вниз, куда может двигаться грузик а другая () — по горизонтали справа налево, в направлении возможного движения груза массой Обозначим силу натяжения первой нити через а второй — через (см. рисунок).

Тогда в проекциях на выбранные оси координат уравнения движения двух тел системы имеют вид:

В силу условия задачи можно считать, что сила натяжения вдоль всей первой нити одинакова и равна а сила натяжения второй нити Если груз сдвинется влево на расстояние то грузик очевидно, за счёт укорочения трёх горизонтальных участков первой нити сдвинется вниз на расстояние Поэтому уравнение кинематической связи для ускорений тел имеет вид: При движении данной системы тел, если полученное значение сила трения скольжения, действующая на груз будет равна по закону Амонтона — Кулона

Подставляя в исходную систему уравнений эти выражения, имеем:

Или откуда

Так что тела действительно будут двигаться.

Ответ:

В системе, изображённой на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 10 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,3). Найдите ускорение a₁ грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.

Для описания движения данной системы тел выбираем неподвижную систему отсчёта, одна ось которой направлена вертикально вниз, куда может двигаться грузик а другая — по горизонтали справа налево, в направлении возможного движения груза массой Обозначим силу натяжения первой нити через а второй — через (см. рисунок).

Тогда в проекциях на выбранные оси координат уравнения движения двух тел системы имеют вид:

В силу условия задачи можно считать, что сила натяжения вдоль всей первой нити одинакова и равна а сила натяжения второй нити Если груз сдвинется влево на расстояние то грузик очевидно, за счёт укорочения трёх горизонтальных участков первой нити сдвинется вниз на расстояние Поэтому уравнение кинематической связи для ускорений тел имеет вид: При движении данной системы тел, если полученное значение сила трения скольжения, действующая на груз будет равна по закону Амонтона — Кулона

Подставляя в исходную систему уравнений эти выражения, имеем:

Или откуда

Так что тела двигаться с ускорением не будут.

Ответ:

Аналоги к заданию № 6837: 6870 Все

В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту h, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска М, длина свисающей части нити L, коэффициент трения между бруском и поверхностью Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.

Обоснование. Движение бруска поступательное. Размером грузика можно пренебречь. Поэтому их можно считать материальными точками. На брусок в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, действуют силы тяжести, натяжения нити, реакции опоры и трения. Для описания его движения можно применять второй закон Ньютона.

Нить является нерастяжимой, поэтому силы натяжения, действующие на брусок и на грузик, равны по модулю.

При движении грузика внешние силы трения и сопротивления воздуха пренебрежимо малы, систему «грузик — Земля» можно считать замкнутой. Поэтому применим закон сохранения энергии.

Перейдем к решению.

1. На брусок B, пока он не пришёл в движение, действует сила тяжести сила реакции опоры сила натяжения нити и сила трения покоя максимальное значение которой Для того, чтобы он пришёл в движение, должно выполняться условие

На грузик А в нижней точке траектории действует сила тяжести сила натяжения нити модуль которой равен модулю силы и равен При этом грузик в этой точке движется со скоростью и на него действует центростремительное ускорение направленное по радиусу к центру окружности и равное

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях:

3. По закону сохранения энергии потенциальная энергия грузика, поднятого на высоту равна кинетической энергии грузика в нижней точке траектории:

4. С учётом условия движения бруска получаем

Ответ:

В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L. Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска М, коэффициент трения между бруском и поверхностью Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.

Обоснование. Движение бруска поступательное. Размерами грузика можно пренебречь. Поэтому их можно считать материальными точками. На брусок в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, действуют силы тяжести, натяжения нити, реакции опоры и трения. Для описания его движения можно применять второй закон Ньютона.

Нить является нерастяжимой, поэтому силы натяжения, действующие на брусок и на грузик, равны по модулю.

При движении грузика внешние силы трения и сопротивления воздуха пренебрежимо малы, систему «грузик — Земля» можно считать замкнутой. Поэтому применим закон сохранения энергии.

Перейдем к решению.

1. На брусок B, пока он не пришёл в движение, действуют сила тяжести сила реакции опоры сила натяжения нити и сила трения покоя максимальное значение которой Для того чтобы он пришёл в движение, должно выполняться условие

На грузик А в нижней точке траектории действуют сила тяжести и сила натяжения нити модуль которой равен модулю силы и равен При этом грузик в этой точке движется со скоростью то есть он движется с центростремительным ускорением направленным по радиусу к центру окружности и равным

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях:

3. По закону сохранения энергии потенциальная энергия грузика, поднятого на высоту равна кинетической энергии грузика в нижней точке траектории:

4. С учётом условия движения бруска получаем

Ответ:

Источник

• ← Через бетон просачивается вода что делать
• Через в предложении чем является →