Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов. Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Простые числа-близнецы
Два простых числа, которые отличаются на 2, как
получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа
Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.
Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:
Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в «глубоком числовом космосе», продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы
3756801695685 · 2 666669 ± 1,
которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid . Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр.
Простые числа-триплеты
Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –
Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел
Простые числа-триплеты в пределах первой сотни:
p = 2072644824759 · 2 33333 − 1.
Квадруплеты простых чисел
Четвёрки простых чисел вида p –4, p –2, p +2, p +4 называют сдвоенными близнецами или квадруплетами простых чисел. В пределах первой тысячи натуральных чисел можно встретить всего пять таких четвёрок:
При делении на 30 все квадруплеты, кроме первого, дают одну и ту же четвёрку остатков:
при делении на 210, кроме первого, – одну из четырёх:
Секступлеты простых чисел
Шестёрки простых чисел вида
называют секступлетами простых чисел. Среди первых десяти тысяч натуральных чисел можно встретить всего два секступлета:
97, 101, 103, 107, 109, 113.
При делении на 210 все секступлеты, кроме первого, дают следующую шестёрку остатков:
97, 101, 103, 107, 109, 113.
Простые числа, отличающиеся на шесть
Простые числа, отличающиеся на шесть – пара простых чисел вида
Например, таковыми являются числа 5 и 11. В английском языке для таких пар чисел применяется термин sexy primes (англ. sexy – возбуждающий, англ. primes – простые числа). Примеры пар таких чисел, которые можно встретить в первой сотне натуральных чисел:
По состоянию на май 2009 года самая большая известная пара таких чисел состоит из 11593 десятичных цифр. Меньшее число этой пары равно:
— примориал числа 9001, ( праймориал или примориал числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n ).
Не доказано, но предполагают, что количество триплетов, квадруплетов, секступлетов и пар простых чисел, отличающихся на шесть, бесконечно.
Арифметические прогрессии из простых чисел
Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогрессии. Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако (согласно теореме Грина – Тао) существуют сколь угодно длинные такие последовательности.
Приведём несколько примеров простых чисел в арифметической прогрессии:
По состоянию на апрель 2010 года, самая длинная из известных последовательностей такого типа имеет длину 26:
В приведённых примерах соседние простые числа не обязательно являются соседними в последовательности простых чисел. Так, во втором примере за 5 следует 11, а в последовательности простых чисел – 7.
Потребуем, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, т.е. чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел. Тогда можно привести следующие примеры простых чисел в арифметической прогрессии без пропусков:
Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.
Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид .
Первые простые числа-близнецы:
На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа [1].
Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество π2(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к
где C2 — константа простых-близнецов:
Содержание
Теорема Бруна
Вигго Брун в 1919 доказал, что и ряд обратных величин сходится
Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.
Значение называется константой Бруна для простых-близнецов.
Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.
Списки
Самые большие известные простые близнецы
Простые числа-триплеты
Первые простые числа-триплеты:
На данный момент, наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:
(p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 2 33333 − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Простые близнецы» в других словарях:
Простые числа-близнецы — Простые числа близнецы, или парные простые числа пары простых чисел, отличающихся на 2. Содержание 1 Общая информация 2 Теорема Бруна 3 Списки … Википедия
БЛИЗНЕЦЫ — простые близнецы, два простых числа с разностью, равной 2. Обобщенные близнецы пары соседних простых чисел с разностью 2т, где т фиксированное натуральное число. Пользуясь таблицей простых чисел, легко указать примеры Б. Это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 … Математическая энциклопедия
Простые числа, отличающиеся на шесть — Простые числа, отличающиеся на шесть пара простых чисел вида «p, p + 6»[1]. Например, таковыми являются числа 5 и 11. В английском языке для таких пар чисел применяется термин «sexy primes» (англ. sexy сексуальный, возбуждающий,… … Википедия
Список простых чисел — Эта страница содержит список первых 500 простых чисел а также некоторые другие простые числа. Содержание 1 Первые 500 простых чисел 2 Простые числа Белла … Википедия
Чисел теория — наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел. 3 … Большая советская энциклопедия
БРУНА ТЕОРЕМА — о простых близнецах: ряд сходится, если рпробегает все простые близнецы. Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко. Теорема доказана В. Вруном [1]. Впоследствии была… … Математическая энциклопедия
Нерешённые проблемы математики — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы) проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… … Википедия
Нерешенные проблемы математики — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы) проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… … Википедия
Нерешенные проблемы теории чисел — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы) проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… … Википедия
Братишка, ты цел? Математики приблизились к решению проблемы простых чисел-близнецов
Плотность простых чисел
Американский математик Итан Чжан представил работу, которая может считаться важнейшим шагом на пути решения задачи о простых числах-близнецах — по некоторым данным, одной из старейших нерешенных проблем в математике. Работа принята в Annals of Mathematics и, судя по первым отзывам рецензентов, ошибок не содержит. В открытом доступе статьи пока нет, но записи с семинара, который Чжан провел в Гарвардском университете, уже гуляют по Сети.
Простыми называются числа, которые делятся только на единицу и на себя (для удобства 1 в множество простых не включается). Они всегда интересовали математиков, ведь именно простые числа составляют кирпичики, из которых построены все остальные числа — хорошо известно, что всякое число единственным образом разлагается в произведение простых чисел (необязательно попарно различных).
Самые естественные вопросы, возникающие в связи с этим у математиков, касаются строения множества простых чисел. Несмотря на то, что большинство таких вопросов, как правило, формулируется очень просто, ответы на них не просто сложны. Чаще всего они оказываются результатом целых теорий, которые, как водится, имеют кучу полезных приложений — от криптографии до квантовой механики, но создавались исключительно для того, чтобы ответить на эти самые вопросы.
Формула для генерации простых чисел: множество неотрицательных значений этого многочлена от 26 переменных для всевозможных наборов из 26 натуральных чисел дает все простые числа.
Если простых чисел бесконечное множество, то возникает другой вопрос: как они расположены в ряду натуральных чисел? Нет ли для них, например, формулы? Выписывание первых нескольких чисел (скажем, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) совершенно не проясняет (по крайней мере автору) ситуацию. На настоящий момент известно несколько результатов, касающихся строения этого множества. Этим вопросом (о формуле) занимался Эйлер. Ему, например, принадлежит следующее наблюдение: квадратичный трехчлен n 2 − n + 41 дает простые значения для всех натуральных n, не превосходящих 40. Быть может, тогда существует подходящая формула в виде многочлена? Легко доказывается, что такой формулы, конечно, нет. Впрочем, некоторое подобие формулы получить можно (см. врез выше).
Соответственно, возникает следующий вопрос: а какое минимальное расстояние может быть между двумя простыми числами? Пусть это расстояние 1, то есть числа p и p + 1 простые одновременно. Учитывая, что четные и нечетные числа в числовом ряду чередуются, получаем, что одно из этих чисел должно быть четным, то есть делиться на 2. Если учесть, что по нашему (сугубо техническому) соглашению 1 не является простым числом, то существует одна-единственная такая пара простых чисел — это 2 и 3. Следовательно, расстояние между любыми двумя соседними другими простыми числами — как минимум два. Простые числа, расстояние между которыми равно двум, и называются числами-близнецами.
Первые несколько пар чисел-близнецов легко перечислить — это (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) и так далее. Самая большая пара чисел-близнецов из известных на настоящий момент была открыта в декабре 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid. Она имеет вид (3756801695685 · 2 666669 — 1, 3756801695685 · 2 666669 + 1). В десятичной записи каждого из этих чисел по 200700 знаков. Это, конечно, очень большие числа, и само их существование ставит такой вот вопрос: конечно ли множество чисел-близнецов? Этот вопрос, точнее предположение о бесконечности этого множества, и носит название «гипотезы о числах-близнецах». Тут важно понимать, что бесконечность множества чисел-близнецов ни в коем случае не противоречит утверждению о логарифмическом росте расстояний между простыми числами — рост просто означает, что исключений (не укладывающихся в общую тенденцию чисел) достаточно мало.
1) Всякое четное число больше двух представляется в виде суммы двух простых (так называемая бинарная, или сильная, проблема Гольдбаха)
2) Между квадратами двух последовательных целых чисел всегда есть простое
3) Множество чисел-близнецов бесконечно
4) Существует бесконечно много простых чисел вида n 2 + 1
Довольно часто гипотезу о числах-близнецах приписывают Евклиду. Разумеется, такого рода утверждения были грекам по силам, однако убедительных подтверждений этого факта нет. Впервые в печатной литературе эта гипотеза была высказана в 1849 году Альфонсом де Полиньяком в более общем виде: для любого четного числа 2k множество таких соседних простых чисел (то есть между которыми нет других простых), чтобы расстояние между ними в точности равнялось 2k, бесконечно. При k = 1 получаем оригинальную формулировку. Что касается термина «числа-близнецы», то он был введен в обиход математиком Вигго Бруном. Брун изучал разного рода простые числа и в 1915 году доказал замечательную теорему, о которой, пожалуй, следует рассказать чуть более подробно.
Гармоническим рядом называется последовательность дробей 1/n. Известно, что, несмотря на убывание величин этой последовательности, сумма этого ряда бесконечно большая: то есть, для любого наперед заданного числа можно подобрать такое N, что сумма первых N членов гармонического ряда будет больше этого числа. При этом, если брать не все натуральные n, а только простые, то есть рассмотреть последовательность 1/pn, где pn — последовательно занумерованные простые числа, то сумма полученного ряда все равно будет бесконечно большой (еще математики говорят, что такой ряд расходится).
Брун решил рассмотреть последовательность, состоящую только из чисел-близнецов. Если бы такой ряд расходился, то из этого немедленно бы вытекало утверждение гипотезы о числах-близнецах — ясное дело, сумма конечного числа чисел не бесконечна. Однако, оказалось, что сумма полученного ряда не только конечна (математики в таком случае говорят, что ряд сходится), но и равна достаточно небольшому числу, известному как константа Бруна B2. Она примерно равна 1,902160583104. То есть теорема Бруна является еще одним подтверждением того, что пар чисел-близнецов по сравнению с остальными простыми числами немного.
Интерес Бруна к числам-близнецам был инспирирован, среди прочего, выступлением Эдмунда Ландау на Пятом Международном конгрессе математиков в 1912 году. Тогда Ландау сформулировал четыре задачи из теории чисел, решение которых, по его мнению, было недостижимо для математиков того времени. Гипотеза о числах-близнецах была одной из этих проблем. На самом деле за прошедшие 100 лет ситуация несколько изменилась, но только не для гипотезы о числах-близнецах (например, тринарная проблема Гольдбаха для достаточно больших чисел была решена в 1937 году Виноградовым). При этом большинство математиков уверены в истинности гипотезы о числах-близнецах. Например, самое свежее неправильное доказательство этого утверждения датируется 2004 годом.
Да что там гипотеза! До последнего времени не был понятен даже такой факт. Рассмотрим множество Mk из гипотезы Полиньяка соседних простых чисел, расстояние между которыми равно 2k. Бесконечно ли это множество хоть для какого-нибудь k? Лишь только теперь математик из США Итан Чжан показал, что для некоторого k, не превосходящего 35 миллионов, такое множество действительно бесконечно. На первый взгляд может показаться, что 35 миллионов от 1 (речь про k) очень уж далеки, но не для математики.
Итак, что же сделал Чжан? Он взял более раннюю работу своего коллеги и немного подправил функции, которые там фигурировали (более подробно доказательство изложено здесь). При этом, что особенно удивительно и что даже вызвало подозрения на первом этапе анализа доказательства, Чжан использовал уже существующую технику. В этом смысле его доказательство разительно отличается от, например, недавнего доказательства ABC-гипотезы Синити Мотидзуки (тоже, кстати, ключевой проблемы теории чисел, которую часто упоминают в одном ряду с гипотезой о числах-близнецах). Доказательство Мотидзуки занимает свыше 500 страниц и содержит целую теорию — с момента публикации прошло полгода, а результаты его проверки до сих пор неизвестны. Скорее всего, математики, занимающиеся этой самой проверкой, до сих пор не добрались до конца работы.
Статья Чжана, напротив, довольно проста. Более того, ее рецензенты из Annals of Mathematics — журнала, куда она была подана — заявили, что судя по всему работа верна. Главное, впрочем, даже не это — не исключено, что метод Чжана еще можно будет подправить, так что, возможно, значение k удастся уменьшить. Сам математик почти уверен, что до 1 дело не дойдет, но что можно «сбить» с 35 миллионов, он не сомневается.
Вместо заключения
Здесь, по хорошей традиции, автор должен попытаться ответить на вопрос пытливого читателя: «А зачем все это нужно?» В этот раз ответ будет в виде байки.
В 1994 году математик Томас Найсли вычислял константу Бруна. Делал он это грубой силой, то есть считая сумму дробей для пар чисел-близнецов. Когда дело дошло до пары в машинной выдаче обнаружились странности. В частности, суммы, посчитанные до добавления в сеть новых мощных машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Проведя несколько испытаний, Найсли пришел к выводу, что в процессорах Intel имеется какой-то дефект в системе деления чисел с плавающей точкой. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, новость о наличии бага привела к тому, что в 1995 году корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров. Такие дела.
.
[1].
и ряд обратных величин сходится
называется константой Бруна для простых-близнецов.
