Число а кратно числу б чему равен их наибольший общий

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Общим кратным натуральных чисел a и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.

Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b).

Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 – наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12, 18) = 36.

Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:

1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным.

2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b, то К(а, b) ≥ а.

3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.

Наибольший общий делитель

Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.

Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 – наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел a и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(а, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.

Например, числа 14 и 15 – взаимно простые, так как D(14, 15) = 1.

Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:

1. Наибольший общий делитель чисел a и b всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если a K(a, b) = a·b;

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно из перемножить, так как D(14, 15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, D(24, 36)=12.

Задача 32. Сформулировать и доказать признак делимости на 6.

Решение. Для того чтобы натуральное число x делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Пусть число x делится на 6. Тогда из того, что x6 и 62, следует, что x2. А из того, что x6 и 63, следует что x3. Мы доказали, что, для того чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Покажем достаточность этого условия. Так как x2 и x3, то x – общее кратное чисел 2 и 3. Любое общее кратное чисел делится на их наименьшее кратное, значит xK(2;3).

Поскольку D(2, 3)=1, то K(2, 3)=2·3=6. Следовательно, x6.

Задача 33. Сформулировать признаки делимости на 12, 15 и 60.

Решение. Для того чтобы натуральное число x делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.

Решение. Используя формулу K(a,b)·D(a,b)=a·b, находим наибольший общий делитель искомых чисел а и b:

D(a, b) === 5.

Тогда искомые числа можно представить в виде а = 5р, b = 5q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5p и 5q в равенство a·b=275. Получим 5p·5q=375 или p·q=15. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 15. Таких пар две: (3, 5) и (1, 15). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 15 и 25 или 5 и 75.

Задача 35. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 7 и a· b= 1470.

Решение. Так как D(a, b) = 7, то искомые числа можно представить в виде а = 7р, b = 7q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство a·b = 1470. Тогда 7p·7q = 1470 или p·q = 30. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 30. Таких пар четыре: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 7 и 210, 14 и 105, 21 и 70, 35 и 42.

Задача 36. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 3 и а:b = 17:14.

Решение. Так как a:b = 17:14, то а = 17р и b = 14p, где р – наибольший общий делитель чисел а и b. Следовательно, а = 17·3 = 51, b = 14·3 = 42.

Задача 37. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 180, a:b = 4:5.

Решение. Так как a: b=4: 5, то а=4р и b=5р, где р – наибольший общий делитель чисел a и b. Тогда р·180=4р·5р. Откуда р=9. Следовательно, а=36 и b=45.

Задача 38. Найти числа а и b, если известно, что D(a,b)=5, K(a,b)=105.

Решение. Так как D(a, b) · K(a, b) = a·b, то a·b = 5·105 = 525. Кроме того, искомые числа можно представить в виде а = 5р и b = 5q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство а·b = 525. Тогда 5p·5q=525 или p·q=21. Находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 21. Таких пар две: (1, 21) и (3, 7). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 5 и 105, 15 и 35.

Задача 39. Докажите, что число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Решение. Число 6 составное, его можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел: 6 = 2·3. Если мы докажем, что данное число делится на 2 и на 3, то на основании признака делимости на составное число можно будет заключить, что оно делится на 6.

Чтобы доказать, что число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 2k(4k + 1)(14k + 1). Это произведение делится на 2, т.к. первый множитель делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)(4k + 3)(14k + 8). Это произведение делится на 2, т.к. последний множитель делится на 2.

Чтобы доказать, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 3k(6k + 1)(21k + 1). Это произведение делится на 3, т.к. первый множитель делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. n = 3k + 1. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 1)(6k + 3)(21k + 8). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 2)(6k + 5)(21k + 15). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель делится на 3.

Итак, доказано, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2 и на 3. Значит, оно делится на 6.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Даны два числа: 50 и 75. Запишите множество:

а) делителей числа 50; б) делителей числа 75; в) общих делителей данных чисел.

Каков наибольший общий делитель чисел 50 и 75?

2. Является ли число 375 общим кратным чисел: а) 125 и 75; б) 85 и 15?

3. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 105, a·b = 525.

4. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 7, a·b = 294.

5. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 5, a:b = 13:8.

6. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 224, a:b = 7:8.

7. Найти числа a и b, если известно, что D(a, b) = 3, K(a; b) = 915.

8. Докажите признак делимости на 15.

9. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

10. Сформулируйте признаки делимости на 18, 36, 45, 75.

Источник

Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Проверить результаты вычислений можно с помощью онлайн-калькулятора НОД и НОК.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Ответ: НОД (24, 18) = 6

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Источник

№ 1473 Математика 6 класс Виленкин. Помогите ответить на вопросы про числа

Ответьте на вопросы.
а) Какое число называют делителем данного числа? кратным данного числа? Приведите примеры.
б) Какое число называют чётным? Приведите примеры.
в) Как формулируется признак делимости на 2? на 3? на 9? на 5? на 10?
г) Какое число называют простым? составным? Приведите примеры. Является ли простым число 11? число 2? число 1?
д) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры. Чему равны наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

а) Делителем данного числа называют такое число, на которое делится данное. Кратным назы­вается такое число, которое делится на данное без остатка. Например, 2 — делитель 8; 32 — кратное 16.
б) Чётным числом называется целое число, ко­торое делится на 2 без остатка. Например: 2, 4, 6.
в) Число делится на 2, если оно заканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9. Число делится на 5, если оно заканчивается цифрой 0 или 5. Число делится на 10, если оно заканчивается цифрой 10.
г) Число называется про­стым, если оно делится только само на себя и на 1. Если число делится ещё на какое-либо число, кро­ме самого себя и 1, то оно называется составным. Например, 13 — простое число, 2 — простое число. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Источник