Число а кратно числу b чему равно их наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Общим кратным натуральных чисел a и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.

Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b).

Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 – наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12, 18) = 36.

Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:

1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным.

2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b, то К(а, b) ≥ а.

3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.

Наибольший общий делитель

Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.

Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 – наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел a и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(а, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.

Например, числа 14 и 15 – взаимно простые, так как D(14, 15) = 1.

Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:

1. Наибольший общий делитель чисел a и b всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если a K(a, b) = a·b;

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно из перемножить, так как D(14, 15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, D(24, 36)=12.

Задача 32. Сформулировать и доказать признак делимости на 6.

Решение. Для того чтобы натуральное число x делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Пусть число x делится на 6. Тогда из того, что x6 и 62, следует, что x2. А из того, что x6 и 63, следует что x3. Мы доказали, что, для того чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Покажем достаточность этого условия. Так как x2 и x3, то x – общее кратное чисел 2 и 3. Любое общее кратное чисел делится на их наименьшее кратное, значит xK(2;3).

Поскольку D(2, 3)=1, то K(2, 3)=2·3=6. Следовательно, x6.

Задача 33. Сформулировать признаки делимости на 12, 15 и 60.

Решение. Для того чтобы натуральное число x делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.

Решение. Используя формулу K(a,b)·D(a,b)=a·b, находим наибольший общий делитель искомых чисел а и b:

D(a, b) === 5.

Тогда искомые числа можно представить в виде а = 5р, b = 5q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5p и 5q в равенство a·b=275. Получим 5p·5q=375 или p·q=15. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 15. Таких пар две: (3, 5) и (1, 15). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 15 и 25 или 5 и 75.

Задача 35. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 7 и a· b= 1470.

Решение. Так как D(a, b) = 7, то искомые числа можно представить в виде а = 7р, b = 7q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство a·b = 1470. Тогда 7p·7q = 1470 или p·q = 30. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 30. Таких пар четыре: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 7 и 210, 14 и 105, 21 и 70, 35 и 42.

Задача 36. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 3 и а:b = 17:14.

Решение. Так как a:b = 17:14, то а = 17р и b = 14p, где р – наибольший общий делитель чисел а и b. Следовательно, а = 17·3 = 51, b = 14·3 = 42.

Задача 37. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 180, a:b = 4:5.

Решение. Так как a: b=4: 5, то а=4р и b=5р, где р – наибольший общий делитель чисел a и b. Тогда р·180=4р·5р. Откуда р=9. Следовательно, а=36 и b=45.

Задача 38. Найти числа а и b, если известно, что D(a,b)=5, K(a,b)=105.

Решение. Так как D(a, b) · K(a, b) = a·b, то a·b = 5·105 = 525. Кроме того, искомые числа можно представить в виде а = 5р и b = 5q, где p и q – взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство а·b = 525. Тогда 5p·5q=525 или p·q=21. Находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 21. Таких пар две: (1, 21) и (3, 7). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 5 и 105, 15 и 35.

Задача 39. Докажите, что число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Решение. Число 6 составное, его можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел: 6 = 2·3. Если мы докажем, что данное число делится на 2 и на 3, то на основании признака делимости на составное число можно будет заключить, что оно делится на 6.

Чтобы доказать, что число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 2k(4k + 1)(14k + 1). Это произведение делится на 2, т.к. первый множитель делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)(4k + 3)(14k + 8). Это произведение делится на 2, т.к. последний множитель делится на 2.

Чтобы доказать, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 3k(6k + 1)(21k + 1). Это произведение делится на 3, т.к. первый множитель делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. n = 3k + 1. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 1)(6k + 3)(21k + 8). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n(2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 2)(6k + 5)(21k + 15). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель делится на 3.

Итак, доказано, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2 и на 3. Значит, оно делится на 6.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Даны два числа: 50 и 75. Запишите множество:

а) делителей числа 50; б) делителей числа 75; в) общих делителей данных чисел.

Каков наибольший общий делитель чисел 50 и 75?

2. Является ли число 375 общим кратным чисел: а) 125 и 75; б) 85 и 15?

3. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 105, a·b = 525.

4. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 7, a·b = 294.

5. Найти числа а и b, если известно, что D(a, b) = 5, a:b = 13:8.

6. Найти числа а и b, если известно, что K(a, b) = 224, a:b = 7:8.

7. Найти числа a и b, если известно, что D(a, b) = 3, K(a; b) = 915.

8. Докажите признак делимости на 15.

9. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

10. Сформулируйте признаки делимости на 18, 36, 45, 75.

Источник

Наименьшее общее кратное

Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

24 = 2 · 2 · 2 · 3

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Источник

Урок 7 Бесплатно Наименьшее общее кратное

Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.

Наименьшее общее кратное

Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.

Пример

1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5

2) из них найти общие кратные

3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5

Решение:

1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.

Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.

3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.

Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.

Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)

Как же можно найти этот НОК?

I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.

НОК (12, 18)=36

II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.

В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2

Пример 1

Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:

Решение:

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

А) 15 и 25

Б) 10 и 6

В) 100 и 84

Г) 36 и 69

Д) 74 и 12

Е) 96 и 50

Решение:

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

«Крат» в древней Руси XI века значило дословно «раз».

Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».

Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства НОК

Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:

Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.

Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.

Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.

Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.

Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81

Пример 1

Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?

Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?

Найдите НОК получившегося произведения.

Решение:

Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.

Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170

Равно ли оно одному из данных чисел?

Решение:

Пример 3

Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.

Решение:

Надо найти НОК (75; 30).

Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, ко­торый будет стоять на месте старого, равно 150 м.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

По разобранным примерам видно, что в НОК не входит наибольший общий делитель чисел.

Получаем такое свойство: произведение любой пары натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)

Пример использования формулы:

Используем алгоритм Евклида:

Итак, можно выделить еще один, уже третий по счёту алгоритм вычисления НОК:

его можно применять для пары чисел, для которых уже найден их НОД.

Рациональнее его применять в задачах на нахождение НОД и НОК, так как тогда он даёт выигрыш во времени решения таких задач. Во всех других случаях вы потратите почти в два раз больше времени, если выберете этот алгоритм, а не предыдущие два.

Нужно найти НОД и НОК чисел 24 и 12.

Первым шагом вычислим НОД этих чисел:

Теперь для нахождения НОК чисел 24 и 12, нужно найти их произведение и полученный результат разделить на их НОД, который мы посчитали в первом шаге.

Произведение чисел 24 и 12, равно 288

288 : 12 = 24

В частном получили 24. Значит НОК чисел 24 и 12 равно 24

НОК (12; 24) = 24

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Решение

Решение

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

Решение

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Решение

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

Решение

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Решение

Источник

НОД и НОК

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

Значит НОД (12 и 9) = 3

Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

Значит НОД (24 и 18) = 6

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения: и

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

НОК (8, 15 и 33) = 1320

Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

Перемножим числа 36 и 48

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».

Источник