Что больше бесконечность или бесконечность 1

Что такое бесконечность плюс число?

Бесконечность плюс число

В связи с этим, какова ценность бесконечности?

Что касается этого, является ли бесконечность в 2 раза больше бесконечности?

Кроме того, Омега больше, чем бесконечность?

Омега больше бесконечности?

Что равно бесконечности?

Бесконечность считается неисчислимо большим числом. В математике его нет в наборе действительных чисел, и поэтому это вообще не число. Бесконечный ответ на уравнение не определено. Например, деление любого числа на ноль дает бесконечность, поэтому ответ не определен.

Что такое высший уровень бесконечности?

Что больше бесконечности 1 или бесконечности?

Да, бесконечность + 1 больше, чем такая же бесконечность, но без +1, но поскольку он все еще считается бесконечностью, он не будет иметь существенной разницы, если эти два не будут вычтены.

Определена ли 1 бесконечность?

Google больше бесконечности?

Пи больше бесконечности?

Что такое бесконечность в степени 0?

Ответ: Бесконечность в степени нуля равна one.

Какое значение 0 * бесконечность?

0. Когда вы умножаете любое число на 0, вы получаете 0. Итак, когда вы умножаете 0 на бесконечность, вы получаете 0. Действительно нет ответа.

Что такое Ln бесконечность?

1 0 неопределенный или бесконечность?

В математике такие выражения, как 1/0 не определены. Но предел выражения 1 / x, когда x стремится к нулю, равен бесконечности. Точно так же выражения типа 0/0 не определены. Но предел некоторых выражений может принимать такие формы, когда переменная принимает определенное значение, и они называются неопределенными.

Определяется ли 0 делить на 3?

Гуголплекс больше бесконечности?

Вечность больше бесконечности?

Вечность против бесконечности

Что больше бесконечности?

Различные бесконечные множества могут иметь разную мощность, и некоторые из них больше, чем другие. За пределами бесконечности, известная как ℵ₀ (мощность натуральных чисел) есть ℵ₁ (что больше)… ℵ₂ (который еще больше)… и, по сути, бесконечное множество различных бесконечностей.

Что такое 1 2 3 до бесконечности?

Для тех из вас, кто не знаком с этой серией, которая стала известна как суммирование Рамануджана в честь известного индийского математика по имени Шриниваса Рамануджан, она утверждает, что если вы сложите все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы обнаружите, что оно равно -1/12.

Можете ли вы добавить 1 к бесконечности?

1% бесконечности по-прежнему бесконечность?

Итак, согласно этому анализу, 1 процент бесконечности по-прежнему бесконечность.

1 до бесконечности E?

1 в степени бесконечности всегда равен 1.

Почему 1 в степени бесконечности не равно 1?

В контексте действительных и комплексных чисел 1^ ∞ не определено просто потому, что показатель степени is не число. Можно иметь пределы вида x ^ y, значение которого зависит от того, как x переходит в 1 когда y становится сколь угодно большим.

Источник

Виды бесконечностей и вынос мозга

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

Известные факты

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это — символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <

,>. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между и ? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!

Чтобы получить надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до , после чего, естественно, идет

Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс . Как вам такая мощность, например: ? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

Сразу большой шаг

Далее мы пойдем быстрее:

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая, , что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

Еще дальше.

Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя . Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

Иерархия больших мощностей.

Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:

За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:

Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.

Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.

Источник

Сколько будет бесконечность минус 1?

Будет все еще бесконечность. Более того, если прибавить к бесконечности любое конечное число или умножить на любое число, отличное от нуля, все еще будет бесконечность.

Это можно обосновать. Я приведу не строгое доказательство, а, скорее, соображения, почему это так.

Давайте начнем с определения — что такое бесконечность? Это же не какое-то понятное и простое конечное число, правильно? Бесконечность в математике является некоторой абстракцией — специальным значением, к которому стремятся последовательности, которые не ограничены никаким наперед заданным числом.

Например, последовательность просто «n» стремится к бесконечности. А последовательность «1/n» стремится к нулю. Здесь мы под последовательностью понимаем (простите за тавтологию) последовательность чисел, которые задаются соответствующей функцией, и где n каждый раз возрастает на единицу:

нетрудно видеть, что первая последовательность ничем не ограничена — для любого наперед заданного числа N (целого) элемент последовательности с номером N+1 будет больше N. Такую последовательность называют стремящейся к бесконечности, а её предел (грубо говоря, значение последнего члена последовательности) считают равным бесконечности.

Давайте теперь перейдем к самому вопросу.

Легко показать, что последовательность «n+1» тоже стремится к бесконечности: для любого целого N элемент последовательности с номером N будет больше N, а значит последовательность «n+1» тоже не ограничена и стремится к бесконечности.

Источник

Занимательная Гугология, часть 2. Есть ли что-нибудь за пределами бесконечности?

Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью я настоятельно рекомендую ознакомиться с первой частью этого цикла, поскольку многие понятия, которые я использую здесь, там уже были разъяснены, и здесь я повторяться не буду.

Дисклеймер для специалистов и тех кто уже немного в теме: В данной части под бесконечными множествами (∞) подразумеваются только кардинальные (א). В следующей части я объясню, что означают кардинальные множества. Все это сделано для максимального облегчения и так непростого материала.

Бесконечность очень любят математики. Однако физики приходят в ужас, когда в их уравнениях встречается бесконечность. Например, если спросить у физика, что находится внутри черной дыры он, будучи честным, ответит «не знаю», потому что решение уравнения черной дыры выдает в результате ответ, что в ее центре находится бесконечное искривление пространства. Иными словами, как только у физика где-то получается бесконечность он просто разводит руками и уповает на то, что однажды сможет создать уравнение, которое даст более определенный ответ. На самом деле в математике с бесконечностью тоже не все в порядке. До 1908 г. математики пытались доказать существование бесконечности, пока Эрнст Цермело не постановил, что существование бесконечности – это аксиома.

Напомню, что такое аксиомы. Это утверждения, принимаемые без доказательств, на их основе строится вся математика и вообще по-сути любая формализация: письменная, устная или мысленная. Например, в геометрии очевидно, что через две точки можно провести только одну прямую. Только вот это нельзя доказать – это аксиома, так есть и всё, смиритесь с этим!

Даже арифметика, которую проходят в начальной школе имеет свои аксиомы, их четыре. Я записал их здесь в немного измененном, но более понятном виде.

Их нельзя доказать или вывести из других утверждений. Так есть, и бессмысленно спрашивать почему они такие.

Но вернемся к бесконечности. Зачем вообще была нужна эта аксиома, которая вводит ее как должное? Дело в том, что без нее в математике возникало такая неприятная штука, которую называли множество всех множеств. Что ж это за гадость такая? Множество всех множеств – это абстрактное абсолютнейшее множество, которое включает в себя вааааще все, что только возможно, мыслимо и немыслимо. Однако существование такого множества делает математику противоречивой. В историю это противоречие вошло, как парадокс Рассела, в честь математика который его сформулировал.

Парадокс на самом деле весьма прост и звучит так: если существует множество всех множеств, то куда входит это множество. Для наглядности было придумано множество загадок. Мне больше всего нравится эта. Существует страна, в которой есть три закона: все жители должны жить в городах, в каждом городе должен быть мэр, мэр не может жить в одном городе с простыми горожанами. Казалось бы, очевидным решением было создать отдельный город для мэров – но вопрос, где будет жить мэр города мэров?

Если мы вводим бесконечность как аксиому, тогда необходимость в таком множестве автоматически отпадает. А в 1931 г. Курт Гёдель и вовсе доказал, что существование бесконечности может быть только аксиомой, то есть доказать, что бесконечность существует невозможно, можно только принять это.

Итак, бесконечность существует и она больше любого числа.

А если к бесконечности прибавить 1, это что-нибудь изменит? Нам не нужно быть выдающимся математиком, чтобы осознать: сколько не прибавляй к бесконечности, она все равно останется бесконечностью. Хотя выдающиеся математики могут тут с нами поспорить, но об этом я расскажу в третьей части цикла.

То же самое с умножением. Даже если мы сложим или умножим бесконечность саму с собой, ничего не изменится.

Следовательно, вот вам и первые свойства бесконечности:

Дальше ориентироваться в арифметике бесконечностей нам поможет задача, называемая Отель Гильберта. По условиям задачи мы имеем отель с бесконечным количеством номеров, в которых живет бесконечное количество постояльцев. Вопрос, как заселить в отель еще одного человека?

Ответ, звучит так: нужно обратиться к постояльцу из номера «1» с просьбой о переселении в следующий по счету номер, и чтобы он попросил о том же постояльца из того номера, передав, что администрация отеля приносит глубочайшие извинения за неудобства. В итоге все постояльцы все равно останутся с номерами, а у нас появиться одно свободное место.

Наши действия с выселением из четных номеров это все равно, что разделить бесконечность на два. Получается, что бесконечность деленная на любое число тоже дает бесконечность. И правда, ведь мы можем заселять постояльцев через один номер, оставляя их пустыми, так что на каждого постояльца придется по два номера, или через четыре номера, так что на каждого постояльца придется по пять номеров. Можем вообще каждому заселяющемуся отдавать по 10 или 50 номеров, да хоть по ∞ номеров в идеале, все равно в результате такого расточительства гостиничной собственности все постояльцы будут заселены, следовательно:

А раз мы выяснили, что ∞ / ∞ = ∞, это значит что бесконечность всех возможных дробных чисел равна бесконечности всех возможных целых чисел.

Ну а как быть со степенью. По сути, возведение бесконечности в степень – это тоже, что перемножить ее между собой несколько раз. Поэтому, в какую бы степень мы не возвели бесконечность, это не должно ничего изменить в сложившейся ситуации.

Однако возведение в бесконечную степень изменит результат. Но вот так сразу объяснить почему, не получится. Придется зайти издалека.

Для начала вспомним, чем рациональные числа отличаются от иррациональных.

Знаменитая теорема Пифагора, говорит, что если катеты прямоугольного треугольника равны 1, то его гипотенуза будет равна квадратному корню из двух. Понятно, что √2 это нецелое число. Но оно удивительно тем, что не существует дроби, в виде которой можно его представить, поскольку иначе числитель и знаменатель этой дроби должны быть бесконечными.

√2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856 9671875376948073176679737990732478462107 0388503875343276415727.

По легенде считается, что Пифагор сам пришел к такому выводу. Естественно он понимал, что это будет нецелое число, но поначалу ему и в голову не приходило, что √2 невозможно записать дробью. Он считал, что должна существовать какая-то большая дробь, которая будет равна √2. Пифагор решил выяснить так ли это. Если увеличить стороны катетов до 2, то гипотенуза будет равна √8, что тоже не является целым числом. Пифагор думал, что увеличивая величину катетов, он рано или поздно получит целое число гипотенузы и докажет, что √2 можно записать дробью. Он был полностью обескуражен, когда понял, что в своем эксперименте целого числа он не получит никогда, сколько бы он не увеличивал стороны катетов.

Но какое это отношение имеет к бесконечности? Самое прямое! Когда мы, например, делим бесконечную линию на отрезки, то получаем бесконечность отрезков, которые можно считать. Естественно, если мы попытается их сосчитать, то нам не встретится отрезка под номером √2. Однако если разбить бесконечную линию на безразмерные точки, то где-то на линии можно поставить точку равную отметке в √2. Как это сделать? Очень просто. Берем наш равносторонний прямоугольный треугольник прикладываем его сначала катетом, отмечаем точку 1, затем прикладываем гипотенузой и получаем точку √2. Но проблема в том, что используя традиционное математическое деление получить эту точку невозможно. Значит, сколь малые дробные числа мы бы себе не представили, где-то между ними всегда будут находиться иррациональные числа.

То есть у нас существует две разные бесконечности, одна больше другой. Спрашивать во сколько раз или на сколько раз бессмысленно. Больше и все тут. Их принято записывать с индексами 0 и 1, это называют мощностью бесконечности. То есть теперь ∞ = ∞₀

Причем бесконечность бо́льшей мощности с легкостью поглащает бесконечность меньшей мощности: ∞₁ + ∞₀ = ∞₁ и ∞₁ ⋅ ∞₀ = ∞₁

Хорошо, но как со всем этим связано возведение в бесконечную степень? Опять же так сразу понять не получится. Сперва, нам нужно узнать, как хранятся иррациональные числа в компьютере.

Понятно, что иррациональное число это такое число, у которого бесконечная последовательность чисел, после запятой. А компьютер не может хранить бесконечную последовательность. Обычно хранится где-то 14, 15 знаков после запятой, остальные округляются. То есть самое точное значение √2, которое можно использовать в обычной компьютерной программе это 1,4142135623731.

А можно ли повысить точность? В принципе можно, но чтобы понять, как, нужно разобрать как компьютер вообще хранит числа.

Ну, это просто. Итак, сколько видов информации может хранить одна лампочка? Ответ очевиден: 2 – вкл и выкл. А две лампочки? Ответ: 4 – выкл+выкл, вкл+вкл, выкл+вкл, вкл+выкл.
А если у нас n лампочек:

Это выражение основа информатики. Оно называется Булеан. Лампочки это биты, а их булеан (2 n ) это числа, которые могут быть в них закодированы. То есть, имея 1 бит, мы можем закодировать числа от 0 до 1, имея 2 бита от 0 до 3, имея 8 бит от 0 до 255.

Для хранения дробных чисел используется 48 бит, что дает возможность записать любое дробное число с точностью от 0 до 1/281474976710655.

Но в нашем обсуждении не так уж и важно, верна континуум-гипотеза или нет. В любом случае у нас появилась арифметическая возможность получать новые бо́льшие бесконечности.

Но для начала, давайте посмотрим, где можно встретить отражение бесконечностей разных мощностей.

Самое интересное в этом, то что на сегодняшний день неизвестна ни одна совокупность абстрактных объектов, которая составляла бы бесконечности третьей мощности (∞₃). То есть, ∞₃ не имеет никаких соответствий, даже если попытаться описать с помощью нее всевозможные абстрактные понятия. Ничто известное человечеству не составляет ∞₃. Она не имеет никаких аналогий не только в реальности, но и в абстракции.

Можно сказать, что бесконечности выше третьей мощности это всем абстракциям абстракции. Фактически они не имеют никаких практических описательных применений. Тем не менее, приведенная выше формула позволяет нам создавать все более мощные бесконечности:

Хоть при помощи них уже нельзя ничего сосчитать, тем не менее, они существуют. Потому что все это следует из принятых нами аксиом арифметики и аксиомы бесконечности.

Но хорошо, вот мы дошли до бесконечности бесконечной мощности ∞_∞, чтобы это не значило. А может ли быть у бесконечной мощности своя мощность, то есть:

А почему бы и нет. Тогда получается за ней последует ∞_∞1. Однако некоторые могут скептически отнестись к такой конструкции. И хочу сказать, что ваши сомнения оправданы. Ведь мощности у бесконечностей выражаются натуральными числами, а как мы выяснили, бесконечность натуральных чисел это ∞₀, и как такое возможно, что мощности вдруг стали исчиляться ∞₁? Отвечаю: это возможно, но я пока не буду объяснять почему, скажу лишь, что такую конструкцию допускает континуум-гипотеза, подробнее об этом я расскажу в третьей части цикла.

С ней вроде бы все понятно, с ее помощью можно увеличивать вложенность бесконечных мощностей. На очереди пентация бесконечностей.

Многим может показаться, что всё, финиш, дальше продвигаться некуда. Но давайте представим, что в этой лестнице не просто ∞₀ ступенек, а ∞₁ ступенек. Некоторые из вас опять же возразят: как такое может быть, ведь ступеньки в этой лестнице отдельные счетные элементы и все их бесконечное множество не может превыщать по мощности ∞₀. И опять же отвечу, что континуум-гипотеза это допускает, как допускает существование ∞_∞1, как и обещал продробнее это будет рассмотрено в третьей части цикла. Пока поверьте на слово, что это возможно.

Теперь используя этот нюанс, попробуем выразить хескацию бесконечностей. Чтобы понять как, смотрите на рисунок ниже.

Вот этот последний монстр и будет ∞[6]∞. То есть у нас уже не просто лестница бесконечностей. А это лестница длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая. (и.т.д).

Визуализировать ∞[7]∞ будет еще сложнее. Это будет выглядеть так:

Конечно вам может показаться, что все это пустые измышления. Может быть и так, но раз математика позволяет нам создавать такие структуры это значит, что они существуют, пусть не в реальности, пусть как абстракции, но существуют.

А может гипероператор быть больше чем обычная бесконечность, например ∞[∞₁]∞? Может. И это все равно, что ∞[∞[3]∞]∞. А может быть еще больше? Конечно. Может быть и таким ∞[∞_∞]∞ = ∞[∞[4]∞]∞. Пусть хоть он будет лесницей бесконечности ∞[∞_∞∞∞. ]∞ = ∞[∞[5]∞]∞. Пожалуйста. Вот только мы же не сможем визуализировать мощности таких структур, но опять же, это не значит, что они не существуют.

Итак, раз у нас уже начались вложения гипероператора, давайте сразу перейдем к ∞[∞[∞]∞]∞, затем к ∞[∞[∞[∞]∞]∞]∞ и так далее.

Затем мы можем привлечь функцию superhyper(), а после чего функцию quasi(), которые как вы помните я ввел еще в первой части цикла. Или можем сразу перейти к более сильным нотациям, с которыми я вас так же вкратце познакомил в конце первой части.

Врятли кто возьмется объяснить простым языком, что все это значит. Однако это кажется просто невероятным, как возможности нашего разума, как сила математического формализма способна создавать такие сущности, которые больше не только любых физических величин, но и любых мыслимых абстрактных объектов.

Пока что ничего бо́льшего чем разрядовая недостижимость не придумали.

Но вопрос все равно остался открытым, доколе можно вводить новые аксиомы, которые будут позволять нам увеличивать невообразимость создаваемых нами сущностей?

Что ж, математики не знают ответа на этот вопрос. На самом деле ответа тут может быть два:

1 – однажды мы дойдем до того, что любая новая аксиома сделает противоречивыми все наши построения и значит всё, бо́льших абстракций придумать невозможно.

2 – новым аксиомам может не быть конца.

На этом предлагаю остановиться и сделать передышку. В третей части я расскажу как можно упорядочить бесконечность, и как ни странно, понимание этого еще на один шаг приблизит нас к построению самого большого из придуманных чисел, о чем я поведаю уже в четвертой части цикла.

Источник