диагонали трапеции авсд перпендикулярны на основании ад выбрана точка к такая что кб равно кд

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Диагонали трапеции авсд перпендикулярны на основании ад выбрана точка к такая что кб равно кд

В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка L лежит на основании BC.

а) Докажите, что прямая MK проходит через середину стороны AB.

б) Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

а) Обозначим буквой E точку пересечения отрезков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как накрест лежащие углы; аналогично ∠CLD = ∠ADL, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть треугольники ABL и CLD равнобедренные (AB = BL, CL = CD). Тогда биссектрисы этих треугольников BM и CK являются также высотами и медианами. Значит, точки M и K являются серединами сторон AL и DL соответственно. Отсюда следует, что отрезок MK является средней линией треугольника ALD. Значит, MK || AD.

Теперь если рассмотреть треугольник ABL, получаем, что отрезок EM параллелен стороне BL и исходит из середины стороны AL. Отсюда следует, что EM является средней линией этого треугольника, а значит точка E — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим 4-угольник MLKN. Из предыдущего пункта получили, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, откуда следует, что

То есть у данного 4-угольника суммы противоположных углов дают откуда следует, что вокруг него можно описать окружность. Соединим точки N и L (пересечение с MK в точке F) — получим 2 прямоугольных треугольника NML и NKL. Тогда центр описанной окружности лежит на середине общей гипотенузы NL.

Теперь заметим, что треугольники MFL и NFK подобны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вертикальные; ∠MLF = ∠NKF, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MN). Тогда

Аналогично треугольники NMF и KFL подобны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вертикальные; ∠MNF = ∠FKL, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ML). Тогда

Поделим соотношения друг на друга:

Из подобия треугольников NLC и NFK (по 3-м углам) получим, что Аналогично из подобия треугольников NLB и NFM получим, что откуда следует:

Окончательно получаем, что

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

В решении задачи будем использовать подобие треугольников и теорему Фалеса.

а) Треугольники AMK и ABC подобны по 2 углам (∠ A — общий, ∠AMK = ∠ABC, как соответственные при параллельных прямых). Тогда По теореме Фалеса получаем откуда

(последнее равенство следует из подобия треугольников BDC и LDN по двум углам). Следовательно, откуда MK = NL. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим MK = NL x, KL = 3x. Из треугольников ABC и AMK:

Из подобных треугольников ACD и KCN (опять же по 2-м углам):

Обозначим и выпишем полученную систему двух уравнений:

Окончательно

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.

а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.

б) Найдите длину отрезка MN.

а) Соединим точку O с вершинами 4-угольника K, L, M и N. Обозначим площадь треугольника AOK за x, тогда площадь треугольника KOD равна 6 − x. Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то из треугольника KOL получаем из треугольника KON Далее получим, что

Из треугольника MON получим откуда Что и требовалось доказать.

б) Используя предыдущий пункт, предварительно докажем, что данная фигура на самом деле является трапецией.

Лемма: отрезки AC и BD делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство: (вспомогательные линии здесь не приведены, чтобы не загрязнять чертеж) если рассмотреть треугольник KLM, то отрезок AB является в нем средней линией. Тогда Теперь если рассмотреть треугольник KMN, то в нем CD является средней линией. Тогда Отсюда получаем, что Аналогично доказывается, что

Значит, ABCD является параллелограммом. Отрезки AC и BD являются диагоналями ABCD, а так как диагонали в параллелограмме делятся точкой пересечения пополам, то требуемое доказано.

Площади треугольников LBO и KDO равны, при этом равны и их основания BO и OD (по лемме), значит, должны быть равны и высоты треугольников, проведенные из вершин L и K соответственно. Отсюда следует, что точки прямых LK и BD равноудалены друг от друга, то есть Аналогично доказывается из площадей треугольников MBO и NDO, что Значит, и KLMN — трапеция.

Обозначим OH = OF = h, MN = a. Выразим площади фигур:

Решим систему трех уравнений: подставляя x из первого уравнения во второе, получим:

Осталось подставить найденное значение h в третье уравнение:

Источник

Диагонали трапеции авсд перпендикулярны на основании ад выбрана точка к такая что кб равно кд

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно,

Если угол, вписанный в окружность, прямой, то он опирается на диаметр. Следовательно, отрезок AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.

б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x

Пусть площадь трапеции ABCD равна S, а площадь четырёхугольника KLMN равна S₁. Тогда

а так как диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN перпендикулярны, получаем, что

Следовательно,

Ответ: б)