если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам то такие треугольники равны

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Треугольник.

Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки, образующие треугольник, называются сторонами треугольника, а их общие концы — вершинами треугольника.

Площадь треугольника через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр :

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности и полупериметр:

Площадь треугольника через радиусы вневписанных окружностей и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и стороны:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через высоту и сторону:

Площадь треугольника через длины сторон и полупериметр (формула Герона):

Интересная теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол:

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Замечательные точки треугольника

Инцентр треугольника — точка пересечения биссектрис треугольника. Инцентр является центром вписанной окружности.

Центроид треугольника — точка пересечения медиан треугольника.

Ортоцентр треугольник — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Про другие замечательные точки и прямые треугольника вы можете прочитать здесь.

Источник

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам то такие треугольники равны

Два треугольника называются равными, если все их соответствующие стороны и все соотвествующие углы равны.

Равенство треугольников является частным случаем равенства геометрических фигур. Таким образом, два треугольника равны тогда и только тогда, когда они совмещаются наложением.

\(A\), \(B\), \(C\) – вершины треугольника \(ABC\);

\(AB\), \(AC\), \(BC\) – стороны треугольника \(ABC\);

\(\angle\), \(\angle\), \(\angle\) – углы треугольника \(ABC\).

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то данные треугольники равны.

$$ AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle=\angle \Rightarrow \triangle=\triangle $$

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то данные треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то данные треугольники равны.

$$ AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1 \Rightarrow \triangle=\triangle $$

Источник

Признаки равенства и подобия треугольников

Признаки равенства треугольников

Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.

Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

Источник

Признаки равенства треугольников

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C₁. Тогда в треугольниках ABC и ABC₁ AB — общая сторона, однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ С = С₁, AB = A₁B₁, высота AH равна высоте A₁H₁ (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ равны по катету и гипотенузе. Значит, Учитывая, что С = С₁, имеем равенство A = A₁. Таким образом, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁

AB = A₁B₁, A = A₁, B = B₁.

Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ ( H = H₁ = 90 o ), в которых

AB = A₁B₁, B = B₁, AH = A₁H₁

AB = A₁B₁, B = B₁,

высоты AH и A₁H₁ равны, однако сами треугольники не равны.

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

ACD = A₁C₁D₁.

Аналогично, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по трем сторонам. Следовательно,

BCD = B₁C₁D₁.

Значит, С = С₁ и треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8). Проведем два диаметра AB и A₁B₁. Через точки A, A₁, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A₁B₁C

медиана СM — общая. Однако треугольники не равны.

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Точки O и O₁ пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO = B₁A₁O₁,

значит, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC = A₁B₁C₁.

Аналогично доказывается, что

BAC = B₁A₁C₁.

Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 10).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O₁ и O₂, касающиеся друг друга в точке M (рис. 11).

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2 : 1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O, радиуса OC, пересекающую вторую окружность в точке C₁. Проведем прямую C₁M и обозначим A₁ ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K₁ точку пересечения хорды A₁B и прямой C₁O. В треугольниках ABC и A₁BC₁ A = A₁, медианы CK и C₁K₁ равны, медиана BM — общая. Однако треугольники ABC и A₁BC₁ не равны.

Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Продолжим стороны AC и A₁C₁ и отложим на их продолжениях отрезки (рис. 12). Тогда

Треугольники BCE и B₁C₁E₁ равны по трем сторонам. Значит, E = E₁ и BE = B₁E₁. Треугольники ABE и A₁B₁E₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A₁B₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).

Пример треугольников ABC и ABC₁, изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Действительно, в треугольниках ABC и ABC₁ B — общий, AB — общая сторона, биссектрисы AD и AD₁ равны. Однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 15).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и M₁. Проведем прямые BM, BM₁ и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C₁. Тогда в треугольниках ABC и ABC₁ сторона AB — общая, высота BH — общая, медианы AM и AM₁ равны, однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.

Пусть O и O₁ — точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O₁M₁ треугольников ABO и A₁B₁O₁ равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны, значит, AB = A₁B₁.

Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a₁, b₁, c₁, а соответствующие высоты h_a, b_b, h_c и h_1a, h_1b, h_1c. Имеют место равенства ah_a = bh_b = ch_c и a₁h_1a = b₁h_1b = c₁h_1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.

Источник