Известно что 1 x 0 выберите наибольшее

Информатика ЕГЭ 15 задание разбор

15 задание ЕГЭ «Основные законы алгебры логики»

15-е задание: «Основные законы алгебры логики»
Уровень сложности — повышенный,
Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
Максимальный балл — 1,
Примерное время выполнения — 5 минут.

Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики

Плейлист видеоразборов задания на YouTube:

Задания с множествами

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

Ответ: 12

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

Ответ: 18

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A .

Ответ: 7

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Ответ: 1

Задания с отрезками на числовой прямой

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

Ответ: 4

✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:

def f(a1,a2,x): return((44 maxim: maxim=a2-a1 print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина

PascalABC.net:

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 10

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 8

Далее возможно 2 способа решения.

✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:

Отрезки на числовой прямой:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Ответ: 19

Задания с ДЕЛ

Поиск наибольшего А, известная часть Дел ∨ Дел = 1

Для какого наибольшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Ответ: 8

Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.

Решение с помощью логических рассуждений:

Решение с помощью кругов Эйлера:

Результат: 8

✎ Решение 2 (программирование):
Python:

for A in range(1,500): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))

Поиск наименьшего А, известная часть Дел ∧ ¬Дел = 1

Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Ответ: 3

Избавимся от импликации:

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:

Из общего выражения:

for A in range(1,50): OK = 1 for x in range(1,1000): OK *= (x % A == 0) 0)or (x mod 42 = 0)) = false then begin ok := 0; break; end; end; if (ok = 1) then begin print(A); break; end end; end.

Результат: 3

Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Ответ: 285

✎ Решение 2 (программирование):
Python:
Из общего выражения:

Источник

Известно что 1 x 0 выберите наибольшее

Чтобы купить курс,
пожалуйста, войдите
или зарегистрируйтесь

Быстрая регистрация

Математика (Вариант 8)

Приобретите наш курс

Для продолжения просмотра купите полный курс
наших видеоуроков

Известно, что a

Посмотрите видеоурок по этой теме

По условию оба числа отрицательны, причём .

Поэтому числа и положительны, а числа и — отрицательны.

Рассмотрим предложенные варианты ответа и выберем наименьшее число:

1) Заметим, что числа и больше нуля, а числа и меньше нуля, так как числа и по условию отрицательны.

2) Верно неравенство .

3) Так как по условию Поэтому — наименьшее из заданных чисел.

Источник

Известно что 1 x 0 выберите наибольшее

На числовой прямой даны два отрезка: P = [130; 171] и Q = [150; 185]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Раскроем дважды импликацию, получим: ¬(x ∈ P) ∨ (¬((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) ∨ ¬(x ∈ P)).

Используем Законы де Моргана, имеем: ¬(x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ A).

Первое и второе выражения принимают значение 0 тогда, когда x лежит в обоих отрезках. Поэтому подходят все значения переменной такие, что 150 Ответ: 21

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

(Задание М. В. Кузнецовой)

A — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A,

D₂₁ — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D₂₁,

D₃₅ — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D₃₅,

Тогда исходное выражение

принимает вид откуда в силу правила получаем:

Заметим, что второе слагаемое принимает значение 0 для чисел кратных 21 или 35, то есть для чисел вида 21k и 35n, где k и n натуральные. Чтобы логическая сумма была тождественно истинной, для чисел указанного вида первое слагаемое должно обращаться в 1. Следовательно, число А должно быть таким, чтобы любое из чисел 21k и 35n делилось на него нацело. Общие делители чисел 21k и 35n, не зависящие от k и n, — суть числа 1 и 7. Наибольшее из них равно 7.

Если бы требовалось определить наименьшее натуральное А, обеспечивающее истинность исходного выражения для всех чисел Х, можно было бы начать анализ с наименьшего натурального числа — с числа 1, и убедиться, что оно и является искомым: посылка импликации для числа 1 ложна, а значит, сама импликация истинна.

Аналоги к заданию № 8106: 9320 9321 9322 Все

Обозначим функцию как D%аргумент_m% и упростим эквивалентными выражениями

!(D21||D35) || DA // Свойство импликации

Из последнего следует, что DA должно быть истинно, когда натуральное число x делится на 21 или 35, чтобы получить тождество. Значит, А должно делить x нацело, если оно делится на 21 или 35 нацело. Максимальное такое число это НОД 21 и 35, то есть 7.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Для какого наибольшего целого числа А формула

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

Х + (Y → Z) = Х + (¬Y + Z) = Х + Z + ¬Y = Y → (X + Z) = (Y → X) + (Y → Z).

Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.

Заметим, что первое слагаемое логической суммы является импликацией Z₄₁ → Z₅₁, которая не является истинной для всех х (см. ниже). Тогда необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое логической суммы было тождественно истинным.

Действительно, например, для х = 2 поразрядная конъюнкция с числом 41 дает 0, а с числом 51 дает 2. Поэтому импликация (2&41) → (2&51) принимает вид 1 → 0 — ложь.

2&41: 000000, то есть 2&41 = 0. Высказывание 2&41 = 0 истинно.

2&51: 000010 = 2, то есть 2&51 = 2. Высказывание 2&51 = 0 ложно.

Итак, импликация Z₄₁ → Z_A должна быть тождественно истинной. Запишем число 41 в двоичной системе счисления: 41₁₀ = 101001₂. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поэтому в правой части единичными битами независимо друг от друга могут быть (а могут не быть) только нулевой, третий и пятый биты (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).

Тем самым, наибольшее А = 101001₂ = 41₁₀.

Ответ 45 не подходит. Пусть A = 45, а x = 22₁₀ = 10110₂, тогда:

51&22: 010010₂, т. е. высказывание 22&51 = 0 ложно.

41&22: 000000₂, т. е. высказывание 22&41 ≠ 0 ложно.

51&22: 000100₂, т. е. высказывание 22&45 = 0 ложно.

Следовательно, при x = 22 и A = 45 логическое выражение ложно.

Приведем другое решение.

Выражение x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А = 0) должно быть истинным для любого х. Возьмем такое х, в котором установлены все биты, кроме тех, которые установлены в числе 41, например, для однобайтового представления х = 11010110₂.

Выражение x&51 = 0 будет ложно, поскольку и в числе х, и в числе 51 установлен первый бит (биты считаем справа налево, начиная с нуля).

Следовательно, истинной должна быть импликация во второй скобке. Но левая часть импликации x&41 = 0 истинна, поскольку ни один из битов, установленных в числе 41, в числе х не установлен.

Тогда истинной должна быть и правая часть импликации x&А = 0. Следовательно, в числе А могут быть установлены только те биты, которые не установлены в числе х, то есть нулевой, третий и пятый биты. Таким образом, наибольшее А = 101001₂ = 41₁₀.

При таком А левая и правая части импликации одинаковы, следовательно, импликация в правой скобке истинна, а значит, истинно и все выражение.

Приведём другое решение.

Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:

for A := 0 to 63 do begin

if not (((x and 51) = 0) or ((x and 41) <> 0) or ((x and (63-A)) = 0)) then

Приведём аналогичное решение на языке Python.

Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 41 и 51 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 41.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

Х + (Y → Z) = Х + (¬Y + Z) = Х + Z + ¬Y = Y → (X + Z) = (Y → X) + (Y → Z).

Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.

Заметим, что первое слагаемое логической суммы является импликацией Z₄₁ → Z₅₁, которая не является истинной для всех х (см. ниже). Тогда необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое логической суммы было тождественно истинным.

Действительно, например, для х = 2 поразрядная конъюнкция с числом 41 дает 0, а с числом 51 дает 2. Поэтому импликация (2&41) → (2&51) принимает вид 1 → 0 — ложь.

2&41: 000000, то есть 2&41 = 0. Высказывание 2&41 = 0 истинно.

2&51: 000010 = 2, то есть 2&51 = 2. Высказывание 2&51 = 0 ложно.

Итак, импликация Z₄₁ → Z_A должна быть тождественно истинной. Запишем число 41 в двоичной системе счисления: 41₁₀ = 101001₂. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поэтому в правой части единичными битами независимо друг от друга могут быть (а могут не быть) только нулевой, третий и пятый биты (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля). Поскольку искомое A — наименьшее неотрицательное целое число, в его записи нет единичных битов.

Тем самым, наименьшее А = 000000₂ = 0₁₀.

Приведем другое решение.

Выражение x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А = 0) истинно, если истинной является импликация x&41 = 0 → x&А = 0. Импликация является истинной, если истинна ее правая часть, то есть x&А = 0. Поразрядная конъюнкция с нулем равна 0 для любого числа, поэтому при А = 0 выражение тождественно истинно. В задании требуется найти наименьшее неотрицательное число А, при котором выражение тождественно истинно, следовательно, 0 удовлетворяет этому условию.

Приведём другое решение.

Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:

for A := 0 to 63 do begin

if not (((x and 51) = 0) or ((x and 41) <> 0) or ((x and A) = 0)) then

Приведём аналогичное решение на языке Python.

Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 41 и 51 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 0.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решим задачу графически. Условия (x ≥ y) и (y ≥ 13) задают множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямая 4x + 3y = A должна проходить через точку (0; 27). Таким образом, наименьшее целое неотрицательное А, удовлетворяющее условию задачи — это A равное 81.

Приведем аналитическое решение.

Если выполнено одно из условий (x ≥ y) или (y ≥ 13), то заданное выражение тождественно истинно. Если же оба данных условия не выполнены, то должно выполняться условие (4x + 3y Ответ: 81.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

(¬Х + ¬Y) → (W → ¬Z) = ¬(¬Х + ¬Y) + (¬W + ¬Z) = ХY + ¬(WZ) = WZ → XY.

Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.

Имеем импликацию Z₄₈Z_A → Z₂₈Z₄₅ или Z_{(48 or А)} → Z_{(28 or 45)}. Поскольку 28₁₀ = 11100₂, 45₁₀ = 101101₂, для побитовой дизъюнкции имеем: 28or45 = 111101. Тогда Z_{(48 or А)} = Z₆₁.

Импликация принимает вид Z_{(48 or A)} → Z₆₁. Единичные биты двоичной записи числа 61, должны являться единичными битами левой части. Поэтому в побитовой дизъюнкции 48orA единицы должны стоять на нулевой, второй, третьей, четвертой и пятой позициях (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля). Запишем числа 48, А и 61 в двоичной системе счисления, и выясним, что наименьшее число, дающее при поразрядной дизъюнкции единицы на указанных позициях:

Приведём другое решение.

Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:

for A := 0 to 63 do begin

if not (((x and 28) = 0) and ((x and 45) = 0) or ((x and 48) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then

Приведём аналогичное решение на языке Python.

Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 28, 45 и 48 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 13.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

(¬Х + ¬Y) → (W → ¬Z) = ¬(¬Х + ¬Y) + (¬W + ¬Z) = ХY + ¬(WZ) = WZ → XY.

Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.

Имеем импликацию Z₁₇Z_A → Z₂₈Z₄₅ или Z_{(17 or А)} → Z_{(28 or 45)}. Поскольку 28₁₀ = 11100₂, 45₁₀ = 101101₂, для побитовой дизъюнкции имеем: 28or45 = 111101. Тогда Z_{(17 or А)} = Z₆₁.

Импликация принимает вид Z_{(17 or A)} → Z₆₁. Единичные биты двоичной записи числа 61, должны являться единичными битами левой части. Поэтому в побитовой дизъюнкции 17orA единицы должны стоять на нулевой, второй, третьей, четвертой и пятой позициях (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля). Запишем числа 17, А и 61 в двоичной системе счисления, и выясним, что наименьшее число, дающее при поразрядной дизъюнкции единицы на указанных позициях:

Приведём другое решение.

Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:

for A := 0 to 63 do begin

if not (((x and 28) = 0) and ((x and 45) = 0) or ((x and 17) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then

Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 28, 45 и 17 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 44.

Приведем аналогичную программу на языке Python.

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ А

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражения ¬P ∨ ¬Q истинно при всех значениях x, кроме 4, 8 и 12. Следовательно, промежуток А должен содержать точки 4, 8 и 12. То есть минимальный набор точек в промежутке А ≡ <4, 8, 12>. Сумма элементов множества А равна 24.

Аналоги к заданию № 7675: 7702 Все

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решим задачу графически. Условия (y + 2x ≠ 48) и (x A должна лежать левее пересечения прямых и , имеющей координаты (16, 16). Следовательно, наибольшее значение A равняется 15.

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решим задачу графически. Условие (y + 2x ≠ 48) задаёт множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямые x = A и y = A должны образовывать прямой угол на прямой y = x, вершина которого лежит ниже прямой Следовательно, они должны образовывать прямой угол, пересекаясь в точке (15, 15). Таким образом, наибольшее значение A равняется 15.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 30] и Q = [14, 23]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

обозначается операция эквивалентности (результат X

Y — истина, если значения X и Y совпадают).

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Тогда, применив преобразование импликации, получаем:

Q) истинно только тогда, когда x ∈ [5; 14) и x ∈ (23; 30] (см. рисунок). В таком случае, для того, чтобы выражение было истинно при любом x, A должно лежать либо в промежутке [5; 14), либо (23; 30]. Следовательно, наибольшая возможная длина промежутка равна 14 − 5 = 9.

Разъясните, пожалуйста, разве длина промежутка [5; 14) равна 9? Ведь граничная точка не включена.

Вне зависимости от включения или исключения граничных точек длины промежутков (5; 14), [5; 14), (5; 14], [5; 14] равны 9.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [7, 14] и Q = [9, 11]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

обозначается операция эквивалентности (результат X

Y — истина, если значения X и Y совпадают).

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Тогда, применив преобразование импликации, получаем:

Q) истинно только тогда, когда x ∈ [7; 9) и x ∈ (11; 14] (см. рисунок). В таком случае, для того, чтобы выражение было истинно при любом x, A должно лежать либо в промежутке (7; 9], либо [11; 14). Следовательно, наибольшая возможная длина промежутка равна 14 − 11 = 3.

Аналоги к заданию № 7763: 7790 Все

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

A — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

P — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P

Q — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q

истинным для всех X должно быть выражение

Упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу

из этой формулы видно, что множество A должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством то есть перекрыть множество Множество P · Q — это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 4 и 6 (все числа, кратные 4 и 6), то есть, 12, 24, 36 и т. д. (заметим, что 12 — это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6). Для того, чтобы перекрыть эти числа, можно выбрать в качестве A любой делитель числа 12, то есть, 1, 2, 3, 4, 6 или 12; наибольшее из этих чисел — 12.

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [22, 72] и Q = [42, 102]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что логическое выражение

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;22) и [42; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [22, 42). Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 42 − 22 = 20.

О длине интервала написано в примечании к задаче 11119.

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [12, 62] и Q = [52, 92]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что логическое выражение

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;12) и [52; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [12, 52). Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 52 − 12 = 40.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что логическое выражение

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок (38; 57]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞; 38] и (57; +∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 57 − 38 = 19.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 13] и Q = [12, 22]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию P ∨ Q = 1 удовлетворяет отрезок [3; 22]. Поскольку выражение ¬A ∨ P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на множестве (−∞; 3) ∪ (22; ∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 22 − 3 = 19.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 39] и Q = [23, 58]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что формула

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → ((x ∈ Q) ∧ (x ∈ A ))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

(P ∧ Q) → (Q ∧ A) ⇔ ¬(P ∧ Q) ∨ (Q∧A).

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬(P ∧ Q) = 1 истинно на множестве (−∞, 23) ∪ (39, ∞). Поскольку выражение ¬(P ∧ Q) ∨ (Q∧A) должно быть тождественно истинным, выражение Q∧A должно быть истинным на множестве [23; 39]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 39 − 23 = 16.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ А.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражение ¬P ∨ ¬Q истинно при всех значениях x, кроме значений 6 и 12. Следовательно, множество А должно содержать точки 6 и 12. То есть минимальный набор точек в множестве А ≡ <6, 12>. Сумма элементов множества А равна 18.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Приведём решение К. Ю. Полякова.

A — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A, D₂₁ — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D₂₁, D₃₅ — множество натуральных чисел, для которых выполняется условие D₃₅ и т. д.

Запишем формулу из условия в наших обозначениях A → (D₂₁ + D₃₅) = 1.

Раскроем импликацию по правилу

Чтобы формула была тождественно истинной необходимо, чтобы (т. е. A = 0), когда D₂₁ + D₃₅ = 0. Тогда наибольшее множество A определяется как A_max = D₂₁ + D₃₅. Множество A_max, точно соответствующее выражению с помощью функции ДЕЛ получить невозможно. Выполним анализ исходной формулы с помощью кругов Эйлера. Чтобы в множество входили все числа, не попавшие в объединение D₂₁ + D₃₅, достаточно, чтобы множество А находилось внутри этого объединения, например, совпадая с одним из множеств D₃₅ или D₂₁, или располагаясь внутри любого из них, что возможно, если использовать делители, кратные 21 или 35. В задании требуется найти наименьшее значение, этому условию соответствует 21.

Аналоги к заданию № 8106: 9320 9321 9322 Все

Источник