какие колебания называют установившимися вынужденными колебаниями

Вынужденные колебания.

Колебания, совершаемые телом под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.

Внешняя периодически изменяющаяся сила называется вынуждающей силой.

Примерами вынужденных колебаний являются тряска автомобиля, движущегося по неровной дороге, вибрации кормовой части судна, связанные с работой гребного винта, движение качелей, которые кто-то периодически подталкивает.

Особый интерес представляют вынужденные колебания в системе, способной совершать свободные колебания, т. е. обладающие собственной частотой колебаний. Они интересны тем, что их амплитуда может возрастать при соответствующем изменении частоты вынуждающей силы. Например, после начала раскачивания качелей (являющихся маятником) амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать, т. е. амплитуда каждого последующего колебания будет больше, чем предыдущего (если раскачивать качели в такт). Увеличение амплитуды прекратится тогда, когда потеря энергии на преодоление сил трения станет равна энергии, получаемой качелями извне (за счет работы вынуждающей силы).

В большинстве случаев постоянная частота вынужденных колебаний тоже устанавливается не сразу, а спустя некоторое время после их начала.

Когда амплитуда и частота вынужденных колебаний перестают меняться, говорят, что колебания установились.

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. В отличие от свободных колебаний, являющихся затухающими, вынужденные колебания — незатухающие. Они происходят до тех пор, пока действует вынуждающая сила.

Источник

Вынужденные колебания

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными. Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели — если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку, такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Например, часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Кстати, для математического и пружинного маятника есть свои формулы периода:

Формула периода колебания математического маятника

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

В данном уравнении 2πνt является фазой и обозначается греческой буквой φ.

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

11 класс

§ 28. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания.

Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на колебательную систему действует внешняя периодически изменяющаяся сила. Колебания под действием такой силы называют вынужденными.

Работа вынужденной силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который и не даёт колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Исследования физических явлений опытным путём

Рассмотрим вместо маятника груз, подвешенный на пружине. Но теперь верхний конец пружины будет прикреплён к «колену» изогнутой оси (рис. 5.16).

Если вращать ось с помощью рукоятки, то на груз, прикреплённый к пружине, начнёт действовать периодически изменяющаяся внешняя сила. Ещё лучше вращать ось с помощью электродвигателя. Это обеспечит большую стабильность частоты внешней силы.

Груз начнёт раскачиваться, амплитуда его колебаний будет увеличиваться. Спустя некоторое время колебания приобретут установившийся характер: их амплитуда со временем перестанет изменяться. При этом можно обнаружить, что частота колебаний груза будет в точности равна частоте колебаний точки подвеса пружины, т. е. частоте изменения внешней силы.

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой ω и амплитудой х_m по гармоническому закону:

где φ_c — разность (сдвиг) фаз между колебаниями координаты и внешней силы.

Внешне вынужденные установившиеся колебания выглядят так же, как и свободные колебания в системе без трения. Но если при свободных колебаниях амплитуда х_m и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то при вынужденных колебаниях х_m и φ_c определяются параметрами самой системы и внешней силой.

Выясним, от чего и как зависят амплитуда х_m вынужденных колебаний и сдвиг фаз φ_c. Для этого запишем и исследуем уравнение движения для вынужденных колебаний.

1 При малых скоростях движения тела силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости.

Тогда уравнение движения запишется следующим образом:

Перенеся в левую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим

Разделим правую и левую части данного уравнения на т и обозначим собственную частоту системы через :

Если частота ω внешней периодической силы много меньше частоты собственных колебаний системы (ω ≪ ω₀), происходит почти то же самое, что и при действии на пружину постоянной силы. Согласно закону Гука, смещение увеличивается пропорционально внешней силе, и в любой момент времени внешняя сила почти точно уравновешивается силой упругости пружины. C энергетической точки зрения условия для перекачки энергии в колебательную систему от внешних тел, действующих на систему с периодической силой, в данном случае неблагоприятны.

Рассмотрим случай, при котором ω » ω₀. Амплитуда колебаний будет мала. Внешняя сила столь быстро меняет направление, что груз на пружине, обладающий инертностью, не успевает заметно сдвинуться относительно положения равновесия. Половину периода внешняя сила совершает положительную работу, а другую половину — отрицательную. Половину периода сила и перемещение направлены в одну сторону, а другую его половину — в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в систему.

Резонанс.

Самый интересный случай вынужденных колебаний наблюдается при совпадении частоты колебаний внешней периодически изменяющейся силы с собственной частотой колебаний системы (ω ≈ ω₀).

2 Если собственная частота колебательной системы и частота внешней силы существенно различаются, то внешняя сила совершает положительную работу лишь в течение части периода, а в другой его части — отрицательную работу.

Тем самым создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе: положительная работа внешней силы равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления. Из-за этого механическая энергия системы за счёт работы силы сопротивления переходит во внутреннюю энергию (пружина с грузом и окружающий воздух нагреваются).

Амплитуда колебаний при ω ≈ ω₀ равна

При k₁ → 0 x_m → ∞, т. е. очевидно, что при ω ≈ ω₀ амплитуда максимальна.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называют резонансом.

Явление резонанса можно наблюдать с помощью установки, изображённой на рисунке 5.16. Плавно увеличивая частоту внешней силы, мы заметим, что амплитуда колебаний растёт. Она достигает максимума, когда внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями (ω ≈ ω₀). При дальнейшем увеличении частоты амплитуда установившихся колебаний опять уменьшается (рис. 5.17).

Существенное влияние на резонанс оказывает сопротивление в системе. Если коэффициент сопротивления k₁ имеет достаточно большое значение, то, согласно уравнению (2), резонансная амплитуда колебаний невелика. Чем меньше сила сопротивления, тем больше амплитуда установившихся вынужденных колебаний.

Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при различных коэффициентах сопротивления (k₁ 1 с двумя выступами по краям. C помощью анкера маятник управляет вращением храпового колеса и связанной с ним стрелки часов. При этом энергия от гири порциями поступает к маятнику. В изображённом на рисунке положении зубец давит на скос выступа b анкера и толкает маятник влево.

1 Немецкое слово «анкер» означает «якорь».

После прохождения маятником положения равновесия выступ b соскальзывает с зубца, но почти сразу же анкер внешним скосом выступа а упирается в другой зубец храпового колеса, и маятник испытывает толчок в другую сторону. В результате дважды за период маятник получает энергию, сам открывая и закрывая доступ энергии от источника. Незатухающие колебания маятника происходят с частотой, почти точно равной частоте его свободных колебаний, если трение в системе мало. Именно поэтому часы обладают регулярным ходом.

Системы, подобные часам, в которых генерируются незатухающие колебания за счёт поступления энергии от источника, называют автоколебательными системами. Незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на неё внешних периодических сил, называются автоколебаниями.

Автоколебания отличаются от свободных колебаний тем, что, во-первых, они не затухают с течением времени и, во-вторых, их амплитуда не зависит от начального кратковременного воздействия («толчка»), которое возбуждает колебания. Частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой системы.

К автоколебательным системам относят также электрический звонок с прерывателем, органную трубу, свисток и многое другое. Наше сердце и лёгкие тоже можно рассматривать как автоколебательные системы.

Вопросы:

1. Какие колебания называют вынужденными?

2. Как записывается уравнение движения для вынужденных колебаний?

3. В чём состоит явление резонанса?

4. Почему при резонансе создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к системе?

5. Какое влияние оказывает сопротивление в системе на резонанс?

6. Какие колебания называют автоколебаниями? Чем они отличаются от свободных колебаний?

Вопросы для обсуждения:

1. Если длину математического маятника уменьшать, когда он проходит положение равновесия, и увеличивать в те моменты, когда его отклонение максимально, то амплитуда колебаний маятника начинает возрастать. Как это можно объяснить?

2. Почему при некоторой скорости движения оконные стёкла в пассажирском автобусе начинают дребезжать?

3. Для того чтобы отвести качели с сидящим на них человеком на больший угол, необходимо приложить значительную силу. Почему же раскачать качели до такого же угла отклонения можно с помощью значительно меньшего усилия?

Упражнения:

1. Груз массой 200 г на пружине с жёсткостью 100 Н/м совершает колебания, график которых представлен на рисунке 5.20.

Почему при этом уменьшается амплитуда колебаний?

Чему равна механическая энергия колебательной системы в начальный момент времени?

Через какое время эта энергия уменьшится в 4 раза?

2. На рисунке 5.21 приведена резонансная кривая для балки, на которой укреплён электродвигатель.

При какой частоте вращения ротора будут наблюдаться сильные колебания балки?

3. При какой скорости поезда возникает резонанс, если длина железнодорожного рельса между стыками равна 25 м, а период собственных колебаний вагона составляет 1,25 с?

Источник

Какие колебания называют установившимися вынужденными колебаниями

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания свободных колебаний в колебательной системе.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту свободных колебаний и частоту вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний _m и начальная фаза зависят от соотношения частот и и от амплитуды y_m внешней силы.

При резонансе амплитуда _m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду _m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью () резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменена пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Источник

Установившиеся вынужденные колебания

В течение некоторого времени после включения синусоидальной внешней силы (на протяжении переходного процесса) осциллятор успевает «забыть» свое начальное состояние, его колебания приобретают стационарный характер, и осциллятор в конце концов совершает незатухающие синусоидальные колебания на частоте внешнего воздействия — установившиеся вынужденные колебания. Эти установившиеся колебания описываются периодическим частным решением неоднородного дифференциального уравнения (4):

ϕ(t) = a sin(ωt + δ). (5)

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Когда какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы. Эти силы воздействуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.

Тела, которые вызывают распространяющиеся в среде упругие волны, являются источниками волн (колеблющиеся камертоны, струны музыкальных инструментов).

Упругими волнами называются механические возмущения (деформации), производимые источниками, которые распространяются в упругой среде. Упругие волны в вакууме распространяться не могут.

При описании волнового процесса среду считают сплошной и непрерывной, а ее частицами являются бесконечно малые элементы объема (достаточно малые по сравнению с длиной волны), в которых находится большое количество молекул. При распространении волны в сплошной среде частицы среды, участвующие в колебаниях, в каждый момент времени имеют определенные фазы колебания.

Геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах, образует волновую поверхность.

Волновую поверхность, отделяющую колеблющиеся частицы среды от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны В зависимости от формы фронта волны различают волны плоские, сферические и др.

Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распространения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.;;

В плоской волне волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны (рис. 15.1). Плоские волны можно получить на поверхности воды в плоской ванночке с помощью колебаний плоского стержня.

В сферической волне волновые поверхности представляют собой концентрические сферы. Сферическую волну может создать пульсирующий в однородной упругой среде шар. Такая волна распространяется с одинаковой скоростью по всем направлениям. Лучами являются радиусы сфер (рис. 15.2).

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конеч­ной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают.

При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды. Среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распреде­ленная в пространстве и обладающая упру­гими свойствами.

Итак, колеблющееся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения) и продольными (сгущение и разрежение частиц среды происходит в направлении распространения).

Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц еще не начавших колебаться, называетсяфронтом волны.

В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны (рис. 5.1). Рис. 5.1 Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l:

,

(5.1.1)

где υ – скорость распространения волны, – период, ν – частота. Отсюда скорость распространения волны можно найти по формуле:

.

(5.1.2)

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченную волновым процессом, т.е. волновых поверхностей бесконечное множество. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положение равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт только один, и он все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях волновые поверхности имеют форму плоскости илисферы, соответственно волны называются плоскими или сферическими. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – систему концентрических сфер.

Волновое уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:

где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:

где f — произвольная функция, a

СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН

(V) — скорость распространения фазы упругого возмущения в разл. упругих средах. В неограниченных изотропных средах упругие волны распространяются адиабатически, без дисперсии. В анизотропных средах могут возникать волны с разл. частотой. В твердых телах (г. п., м-лы) могут распространяться продольные волны V_p,обусловленные деформациями сжатия-растяжения; поперечные волны V_s,вызываемые деформациями сдвига, и поверхностные волны Релея. В жидкостях поперечные волны не возникают. Для идеально упругих сред, к которым относится большинство м-лов и т.п., установлена связь V с плотностью о и др. упругими параметрами—модулем Юнга Е и Пуассона коэф.ц:

Единицы измерения V : в СИ — м/сек, в СГС — см/сек, на практике км/сек.

Источник