Зная что число 13xy45z делится на 792 найдите x y z

Нужны решения по линейной алгебре, кто соображает помогите плиз, мне нужно понять как решаются некотрые вещи.

1) Очевидно, что речь идёт о 5-значных числах (в противном случае задача совсем банальна: если 135xy — это произведение, то 135xy = 45 * (3xy) — делится на 45 при любых целых x и y).

Итак, считаем, что 135xy — пятизначное число, тогда оно равно 100*135+(10x+y) = 45*300 + (10x+y). Первое слагаемое (45*300) делится на 45, значит на 45 должно делиться и второе слагаемое (10x+y):
10x+y = 45z; причём 0 = 3, то 45z >= 135 — этот вариант нас не устраивает. Остаются значения z = 0, 1 и 2. Все три удовлетворяют условиям задачи; получаем

ОТВЕТ: 13500; 13545; 13590

================================================================================
2. Разложим 700 на простые множители:
700 = 2^2 * 5^2 * 7
Если число a является делителем 700, то оно может быть записано в виде
a = 2^p * 5^q * 7^r,
где p и q могут принимать значения от 0 до 2; r — 0 или 1. Значит, возможны три различных значения p, три значения q и два значения r.
Общее количество комбинаций (а значит, и делителей 700) равно 3*3*2 = 18.
q = 0: имеем делители вида (2^p * 7^r): 1, 2, 4, 7, 14, 28 — их сумма равна 56.
При q=1 и q=2 имеем делители, пропорциональные первому списку: соответственно, в 5 и 25 раз их бОльшие.

Сумма всех делителей числа 700 равна (1+5+25)*56 = 31*56 = 1736

ОТВЕТ: 18 делителей; сумма 1736

Найти все числа вида 135xy делящиеся на 45
45=9*5
если 135xy оканчивается 5 и делится на 9 то и на 45 тоже делится.

Найти сумму и число делителей числа 700
700=2*2*5*5*7
ну дальше то просто ))

По признаку делимости на 5 могут быть две возможности:

а) при у=0, будет х=0 или х=9

б) при у=5, (х+5) делится на 9 только если х=4.

Итак, возможны случаи: 13500, 13590, 13545.

Сумма простых делителей =21, число простых делителей=5.
Если вопрос о любых делителях, то надо покомбинировать их из простых.

Источник

Зная что число 13xy45z делится на 792 найдите x y z

Целые числа x, y и z таковы, что (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Докажите, что число x + y + z делится на 27.

Решение

Если числа x, y и z дают различные остатки при делении на 3, то число (x – y)(y – z)(z – x) не делится на 3, а число x + y + z, наоборот, делится на 3. Следовательно, по крайней мере, два из трёх чисел x, y, z дают одинаковые остатки при делении на 3. Но тогда число x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x) делится на 3, а для этого необходимо, чтобы и третье число давало тот же остаток при делении на 3, что и первые два числа.
Итак, числа x, y, z дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, число x + y + z = (x – y)(y – z)(z – x) делится на 27.

Замечания

Отметим, что такие числа x, y, z существуют, например, 15, 18 и 21 или 50, 53 и 59.

Источники и прецеденты использования

Источник

Зная что число 13xy45z делится на 792 найдите x y z

2. Найдите наибольшее значение выражения 3sin^5x-4cos^5x, если x удовлетворяет равенству 2(sin^2x-sinx)+cos^2x-cos^3x=0.

4. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен равнобедренный треугольник AMB (BM=AM=5). Найдите максимальную длину отрезка CM, если \angle BAC=arcsin\frac<3><5>.

5. Найдите все значения a и b, при которых уравнения x(x^2-2x-7)=a и x(x^2+3x-2)=b имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение a+b.

6. Найдите количество 6-значных чисел, произведение цифр которых делится на 63.

7. Пусть x,y,z – натуральные числа. Известно, что произведение xy^2z^3=1089994752. На какую максимальную степень двойки может делиться x^2+y^2+z^2?

8. В ряд в порядке возрастания выписали все семизначные числа. Потом те из них, в записи которых встречаются цифры 0, 7, 8 или 9, вычеркнули. Какое число будет стоять на 201123 месте?

9. Вершина A основания ABCD правильной пирамиды SABCD совпадает с вершиной конуса, вершины B и D лежат на его боковой поверхности, вершина S – на окружности основания этого конуса, а вершина C – в плоскости его основания. Найдите объем конуса, если объем пирамиды равен \frac<6><\sqrt2\pi>.

10. Коля сложил 27 чисел, в десятичной записи которых используется одна и та же цифра N и не используются никакие другие цифры. Какое наименьшее число, большее 6521315190, он мог получить?

Источник

Зная что число 13xy45z делится на 792 найдите x y z

Задача 15:

Найдите остатки от деления

а) 1989 • 1990 • 1991 + 1992³ на 7;

Решение:

Ответ: а) 0; б) 1, так как 9 дает остаток 1 при делении на 8.

Задача 16:

Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.

Решение:

Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим три случая.

Если n дает остаток 0, то и n³ и 2n делятся на 3 и поэтому n³ + 2n также делится на 3.

Если n дает остаток 1, то n³ дает остаток 1, 2n – остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.

Если n дает остаток 2, то n² дает остаток 1, n³ – остаток 2, 2n – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.

Задача 17:

Докажите, что n 5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.

Решение:

Указание: Переберите остатки от деления на 5.

Задача 18:

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Решение:

Переберите остатки от деления на 3.

Задача 19:

Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.

Решение:

Переберите остатки от деления на 9.

Задача 20:

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечетном n.

Решение:

Указание: Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.

Задача 21:

а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.

б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Решение:

Указание: Докажите, что указанные числа делятся и на 3 и на 8.

Задача 22:

Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Решение:

Если ни x, ни y не делятся на 3, то x² и y² дают остаток 1 от деления на 3. Таким образом, их сумма имеет остаток 2 от деления на 3. Но z² не может иметь такого остатка.

Задача 23:

a и b – натуральные числа, причем число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Решение:

Проверьте, что и a и b делятся и на 3 и на 7.

Задача 24:

a, b, c – натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

Решение:

Проверьте, что числа x³ и x имеют одинаковые остатки от деления на 6.

Задача 25:

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

Решение:

Если d – нечетно, то среди чисел p и q есть четное, что невозможно. Если d не делится на 3, то среди чисел p, q и r есть делящееся на 3, что тоже невозможно.

Задача 26:

Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

Решение:

Выясните возможные остатки квадратов при делении на 8.

Задача 27:

Сумма трех натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Решение:

Возможные остатки квадратов от деления на 9: 0, 1, 4, 7. Проверьте, что если сумма трех из них делится на 9, то среди них есть два одинаковых.

Задача 28:

Решение:

Так как при нахождении последней цифры очередной степени числа 9 достаточно умножить на 9 лишь последнюю цифру предыдущей степени, то ясно, что за 9 следует 1 (9 • 9 = 81), а за 1 – 9 (1 • 9 = 9).

Таким образом, нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра числа 1989 1989 – девятка.

Задача 29:

Решение:

Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней двойки: 2, 4, 8, 6, 2, …. Мы видим, что 2 5 так же, как и 2¹, оканчивается на 2. Поскольку очередная цифра полностью определяется последней цифрой предыдущей степени, то произойдет «зацикливание»: 2 6 (как и 2²) оканчивается на 4, 2 7 (как и 2³) – на 8, 2 8 – на 6, 2 9 – на 2 и т.д. Поскольку длина цикла равна 4, то последняя цифра числа 2 50 определяется остатком от деления числа 50 на 4. Так как он равен 2, то последняя цифра числа 2 50 совпадает с последней цифрой числа 2², то есть равна 4.

Задача 30:

Решение:

Задача 31:

Найдите остаток от деления 2¹ºº на 3.

Решение:

Выпишите остатки от деления на 3 нескольких начальных степеней двойки. Докажите, что здесь происходит «зацикливание».

Задача 32:

Найдите остаток от деления 3 1989 на 7.

Решение:

Задача 33:

Докажите, что 2222 5555 + 5555²²²² делится на 7.

Решение:

Вычислите остаток от деления этого числа на 7 и убедитесь, что он равен нулю.

Задача 34:

Найдите последнюю цифру числа .

Задача 35:

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение:

Рассмотрите остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3. а) p = 3; б) p = 3.

Задача 36:

p и 8p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение:

Задача 37:

p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p³ + 2 – также простое число.

Решение:

Задача 38:

Докажите, что не существует натуральных чисел a и b таких, что a² – 3b² = 8.

Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 39:

а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.

Задача 40:

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.

Задача 41:

p, 4p² + 1 и 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Ответ: p = 5. Рассмотрите остатки при делении на 5.

Задача 42:

Докажите, что число 100 … 00500 … 001 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

Решение:

Это число дает остаток 7 от деления на 9.

Задача 43:

Докажите, что a³ + b³ + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.

Решение:

Выясните, какой остаток может давать число a³ + b³ + 4 от деления на 9.

Задача 44:

Докажите, что число 6n³ + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.

Решение:

Выясните, какой остаток может давать число 6n³ + 3 от деления на 7.

Задача 45:

x, y, z – натуральные числа, причем x² + y² = z². Докажите, что xy делится на 12.

Решение:

Если ни одно из чисел x, y не делится на 3, то z² дает остаток 2 при делении на 3, что невозможно. Заметьте теперь, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1, квадрат четного числа, не делящегося на 4, – остаток 4, квадрат числа, делящегося на 4, – остаток 0. Докажите, что либо x и y оба четны, либо среди них есть число, кратное 4.

Источник