Что будет если sin умножить на cos
Произведение косинусов, синусов и синуса на косинус
Формулы произведений косинусов cos(α)×cos(β), синусов sin(α)×sin(β) и синуса на косинус sin(α)×cos(β) можно выразить из четырех базовых формул — косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса разности sin(α−β) и синуса суммы sin(α+β):
cos(α−β) = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) (I) cos(α+β) = cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) (II) sin(α−β) = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) (III) sin(α+β) = sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) (IV)
Эти четыре формулы вывести трудно, поэтому их проще запомнить. Но с их помощью можно вывести искомые тригонометрические тождества.
Произведение косинусов
Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:
cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = <одинаковые произведения синусов сокращаются>= cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)
cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)
В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:
cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,
т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.
Произведение синусов
Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:
cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = <одинаковые произведения косинусов сокращаются>= sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)
cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)
В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:
sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,
т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.
Произведение синуса на косинус
Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:
sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = <одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются>= sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)
sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)
В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:
sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,
т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.
Итоговые формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинус
cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2 sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2 sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2
Эти формулы мы получили из четырех базовых формул: косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса суммы sin(α−β) и синуса разности sin(α+β). И эти четыре равенства мы между собой складывали и вычитали.
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры
Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.
Формулы произведения. Список
Приведем формулировки, а затем и сами формулы.
Для любых α и β справедливы формулы
Вывод формул
Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.
Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:
Сложим эти равенства и получим:
Формула произведения косинусов доказана.
Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:
Таким образом, выведена формула произведения синусов.
Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части
Формула произведения синуса на косинус выведена.
Примеры использования
Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.
Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.
Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.
Пример. Формулы произведения
Нужно sin 75 ° умножить на cos 15 ° и вычислить точное значение произведения.
Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75 ° · cos 15 ° c помощью формулы произведения синуса на косинус.
Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.
Математика для блондинок
Страницы
суббота, 27 февраля 2010 г.
Что будет, если умножить косинус на синус?
8 комментариев:
Здравствуйте, Николай!
Скажите, а где в жизни, в какой отрасли, применяются правила синуса и косинуса?
В геодезии довольно часто используется. В технике и строительстве при расченах на нагрузки, действующие под углом. Наверное, ещё во многих областях. Скажу честно, в своей жизни я таких случаев не припомню. Причина? Есть типовые задачи и есть типовые решения. Тупо подставляешь данные и клацаешь по клавишам калькулятора. Возможно, иногда и синусы с косинусами попадались. Но ведь я знаю, что означают сочетания букв sin и cos и где их искать в калькуляторе)))
Где применяется синус и косинус.
Поучитесь на физ факе, вам раскажут)))
разделы физики:
— оптика
— механика
— кинематика (гармонические уравнения, разного рода коледания)
— электродинамика
— радиоэлетроника
— квантовая элетроника
— спектроскопия (всех видов)
и т.д.
применение этих разделов:
— все виды связи (телефония, интернет, спутниковое ТВ)
— радиоприборостроение (расчеты електрических схем)
— лазерные технологии (расчеты параметров лазерных систем)
— системы обнаружения чего угодно
и много много много много.
Да, физики знают, что с математикой нужно делать, в том числе с синусами и косинусами 🙂
Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
Формулы понижения степени
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
Произведение тригонометрических функций
Формулы произведения тригонометрических функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка