Знаки действий первой и второй ступени в математике что это
Действия первой и второй ступени
Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени.
Порядок действий
Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.
Пример 1. Вычислить значение выражения:
Решение: Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15 | + | 17 | — | 20 | + | 8 | — | 12 |
Пример 2. Вычислить значение выражения:
Решение: Данное выражение содержит действия только одной ступени — второй (умножение и деление). Надо определить порядок действий и выполнить их.
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 60 | : | 15 | · | 7 | : | 2 | · | 3 |
Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.
Пример. Вычислить значение выражения:
Решение: Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.
Порядок выполнения действий, правила, примеры
Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.
В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Порядок вычисления простых выражений
В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.
Решение
В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
Решение
Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Решение
17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
.
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Решение
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6
На этом вычисления можно закончить.
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.
Решение
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Решение
Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.
( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Математика. 5 класс
Настройка зачисления на курс
Математика. 5 класс
Навигация
Детский технопарк «Кванториум»
История и обществознание
Основы безопасности жизнедеятельности
МОУ «Лицей прикладных наук»
МУДО «Центр дополнительного образования»
МОУ «Прогимназия № 237 «Семицветик»
МУ ДО «Центр детского творчества»
Олимпиада_Информатика и ИКТ
МАУ ДО «Центр дополнительного образования для детей»
МАДОУ «ДС № 236 Лукоморье»
МУДО «Детско-юношеский центр»
МУДО «Центр детского творчества»
ОУ городского подчинения и ГБУ
Ассоциация попечителей образования
МАОУ «Физико-технический лицей № 1»
МУДО «Центр туризма, краеведения и морской подгото.
МАУ ДО «Дворец творчества детей и молодежи»
МБОУ СОШ с. Новоалександровка им. Героя Советско.
МБОУ СОШ№ 1 с.Александров-Гай Саратовской области
МБОУ ДО «ЦДТ» с. Александров-Гай Александрово-Гайс.
МОУ-СОШ села Марфино Аткарского района
МАОУ Гимназия №2 г.Балаково
МАОУ «ООШ № 10» г. Балаково
МАОУ СОШ №13 г. Балаково
МАУДО ЦДО г. Балаково
МБУДО Центр «Созвездие» г. Балашов
МОУ «СОШ с. Черкасское»
МОУ «СОШ №11» г. Вольск
ГАПОУ СО «Вольский педагогический колледж им. Ф.И.
МУДО ВМР «ЦДО «Радуга»
МОУ «СОШ с. Воскресенское»
МОУ «СОШ с. Синодское»
МОУ «ООШ с. Верхазовка»
МОУ «СОШ п. Первомайский»
МУДО «Дом детского творчества»
МОУ «СОШ им. Г.И. Марчука р.п. Духовницкое»
МОУ «СОШ имени Н.В. Грибанова с. Брыковка»
МОУ СОШ с. Андреевка
МБОУ «Дом детского творчества»
МОУ «СОШ с. Ивантеевка»
МУ ДО «Дом детского творчества»
МБУ ДО «Детско-юношеская спортивная школа г. Калин.
МБОУ «СОШ с.Симоновка Калининского района Саратовс.
МБУ ДО «Дом детского творчества г. Калининска Сара.
МБОУ «СОШ с. Колокольцовка»
МБОУ «СОШ с.Симоновка»
МБОУ «СОШ № 11 с. Золотое»
МБУДО «ЦТОТД и М г.Красноармейска»
МОУ «СОШ с.Логиновка»
МУ ДО «Районный Дом детского творчества р.п. Горный «
МБОУ «СОШ № 2 р.п. Лысые Горы»
МОУ «СОШ № 1 р.п. Лысые Горы»
МБОУ «СОШ с. Широкий Карамыш»
МБОУ «СОШ с. Большая Рельня»
МБУ ДО «ЦДОД» р.п. Лысые Горы
МБОУ «ООШ с. Юнгеровка»
МБОУ «СОШ с. Двоенки»
МБОУ «СОШ с. Атаевка»
МБОУ «СОШ с. Бутырки»
МБОУ «СОШ п. Яблочный»
МБОУ «СОШ п. Октябрьский»
МБОУ «СОШ с. Невежкино»
МОУ СОШ с. Подлесное
МОУ «СОШ с. Павловка»
МОУ «СОШ с. Кировское»
МБОУ-СОШ №6 г. Маркса
МОУ «СОШ № 4» г. Маркса
МОУ СОШ с. Звонаревка
МОУ-СОШ с Орловское
МУ ДО – Центр внешкольной работы
МОУ «СОШ п. Динамовский
МОУ «СОШ с. Гремячка»
МУ ДО «ДДТ г. Новоузенска»
Метапредметный курс «Биология + Химия»
МОУ «СОШ п. Сланцевый рудник»
МОУ «Школа с. Новочерниговка»
МБУДО «Дом детского творчества р.п. Озинки»
МБОУ «СОШ с. Н. Покровка»
МБОУ «СОШ с.Натальин Яр»
МБОУ «СОШ с.Грачев Куст»
МБОУ «СОШ имени М.М. Рудченко»
МБУ ДО «Детско-юношеский центр» г. Петровск
МБУДО «Детско-юношеская спортивная школа имени Т.В.
МБУДО «ДОООЦ «ДЕЛЬФИН» г. Петровск
МУ ДО «Дом детского творчества»
МОУ «СОШ №14 г. Пугачёва им. П.А.Столыпина»
МОУ СОШ с. Старая Порубёжка
МОУ «СОШ с. Заволжский»
МОУ «СОШ №2 г. Пугачева»
МОУ «СОШ № 13 г. Пугачева Саратовской области имен.
МБУ ДО «Центр развития творчества детей и юношеств.
МБОУ «СОШ с. Скатовка»
МБУ ДО «Дом детского творчества р.п.Ровное»
МОУ«СОШ с. Багаевка им. Н.В. Котлова»
МОУ «СОШ с.Березина Речка»
МОУ «СОШ с. Синенькие»
МОУ «СОШ р.п. Соколовый»
МОУ «СОШ с.Усть-Курдюм»
МУ ДО «ЦДТ р.п. Самойловка»
МБОУ «СОШ №1» р.п. Степное
МБОУ «СОШ р.п. Пушкино»
МБУ ДО-РДДиЮ Советского района.
МОУ «СОШ с. Сторожевка»
МОУ «СОШ с. Мизино-Лапшиновка
МОУ «СОШ с. Ягодная Поляна»
МОУ «Татищевский лицей»
МОУ «СОШ с. Октябрьский Городок»;
МОУ СОШ № 1 г. Хвалынска
МОУ ДО «ДДТ «Хвалынский»
Звуковая культура речи
Трудовое обучение(технический труд)
Информатика, физика, астрономия
МОУ «СОШ №30 им. П. М. Коваленко»
МАУ ДО «Дворец творчества детей и молодежи»
МУ ДО «Центр «Позитив»
МОУ «СОШ п. Пробуждение»
МБОУ «СОШ с. Генеральское»
МОУ «СОШ «Патриот» с кадетскими классами»
МОУ «ООШ с. Квасниковка»
МОУ «СОШ п. им. К Маркса»
МОУ «ООШ с. Ленинское»
МОУ «СОШ с.Широкополье»
МОУ «СОШ с. Зеленый Дол»
МОУ «ООШ с. Титоренко»
МБОУ «СОШ с Красный Яр
ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум»
МБОУ «СОШ с. Старицкое»
МОУ «СОШ п. Коминтерн»
МОУ «СОШ с.Воскресенка»
МОУ «СОШ №12 г. Шиханы»
МУ ДО ЗАТО Светлый
МОУ СОШ №3 им. В.Н. Щеголева
МОУ «СОШ №2 им. В.А. Коновалова»
МБУ ДО «Дом детского творчества Балтайского района
Дистанционное обучение детей-инвалидов
Мероприятия для МЦДОДИ
Российские цифровые образовательные платформы
15-16.11.2021Семинар «Дистанционные формы обучения.
Семинар 7 октября 2021
Семинар 18,19 декабря 2020
Курсы для преподавателей
Образовательная сессия 18-20.11.2020
Семинар 20 августа 2020
МАУДО «ЦДТ» Кировский район
МБУ ДО «ДДТ г. Калининск»
МОУ «СОШ с. Клещевка»
МОУ СОШ п. Возрождение
МУ ДО «Дом пионеров и школьников» Романовка
МБУ ДО «ЦРТДЮ» г. Пугачев
МУДО ЦДТ «Светлячок» г. Ртищево
Семинар 19-20 марта 2020
Обучающие семинары для СПО
Семинар для СПО (Базарный Карабулак)
Семинар 18, 20 декабря 2019 года
Семинар «Разработка дистанционного курса в СДО Moo.
Дополнительное образование 23.09.2019
Семинар 27 марта 2019 года
Региональный Краеведческий марафон «Саратовская кр.
Областной конкурс видео и дистанционных курсов «До.
Консультационный центр конкурса «Доступное образо.
Виртуальный исторический класс
Методическое объединение дистанционных педагогов
Правила выполнения математических действий
Основные операции в математике
Основными действиями являются:
Наряду с этими операциями предусмотрены отношения:
Сложение является операцией для объединения пары слагаемых.
Сложение записывают таким образом:
5, 1 — слагаемые, 6 — сумма.
Вычитание — операция, которая является обратным действием сложению.
Записывать вычитание следует таким образом:
10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.
При сложении разности в виде 9 и вычитаемого в виде 1 можно получить 10, которое является уменьшаемым. Сложение можно проверить вычитанием:
Умножение является действием в арифметике и имеет вид сокращенной записи сложения идентичных слагаемых.
В данном случае 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
Множимое и множитель можно поменять местами. При этом произведение не поменяется:
В связи с этим, множитель и множимое являются сомножителями.
Деление — арифметическая операция, которая является обратным действием умножению.
Деление, в том числе для многочленов, записывают таким образом:
При умножении делителя на частное получаем делимое, то есть:
В некоторых уравнениях можно встретить на месте частного не целое число. В таком случае его допустимо записать в виде дроби.
Возведение в степень является действием умножения числа на самого себя несколько раз.
Основанием степени является число, повторяющееся сомножителем конкретное количество раз. Роль показателя степени играет число, указывающее на то количество раз, которое берется одинаковый множитель. Степень — число, являющееся результатом взаимодействия основания и показателя степени.
Здесь 3 является основанием степени, 4 определяется, как показатель степени, 81 называют степенью.
Вторая степень — квадрат, а третья степень — куб. Первая степень числа является самим числом.
В данном случае 81 является подкоренным числом, 4 — показатель корня, 3 — корень.
С целью проверки операции по извлечению корня можно возвести 3 в степень 4, что в результате дает 81:
Квадратный корень — это корень второй степени:
Если предполагается запись квадратного корня, то показатель корня допускается не записывать:
Кубический корень — это корень третьей степени:
Сложение является обратным действием вычитанию, умножение — делению, возведение в степень — извлечению корня, и наоборот.
Порядок вычисления простых выражений
Перед решением простых уравнений полезно ознакомиться с последовательностью действий:
Рассмотреть это правило можно на практике.
Нужно решить письменное уравнение:
В первую очередь следует проверить, есть ли скобки для группировки элементов выражения. Здесь они отсутствуют, как и операции умножения и деления. Тогда можно выполнять действия, руководствуясь стандартным алгоритмом, описанным выше: витаем 2 из 11, складываем остаток с 5, в результате получим 14.
11 – 2 + 5 = 9 + 5 = 14
Скобки в данном примере отсутствуют, но имеются операции деления и умножения. При их обнаружении нужно с помощью правила последовательно выполнять действия, двигаясь слева направо: 10 делим на 2, полученное число умножаем на 7, результат делим на 5.
10 ÷ 2 × 7 ÷ 5 = 5 × 7 ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7
В процессе изучения данной темы, пока опыта еще не достаточно, полезно расставлять над знаками арифметических операций цифры в порядке их выполнения. Такая работа значительно упрощает вычисления и исключает ошибки.
Что такое действия первой и второй ступени
В учебной литературе по математике можно встретить такие понятия, как действие первой и второй ступени:
В том случае, когда в выражении отсутствуют скобки, операции выполняются в следующем порядке:
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Наличие в выражении скобок изменяет стандартный алгоритм арифметических операций. Это своеобразный индикатор для действий, которые должны быть выполнены в первую очередь.
В первую очередь следует выполнить операции, заключенные в скобках. При этом важно соблюдать стандартный порядок действий, то есть слева направо умножать и делить, а далее — складывать и вычитать.
Выражения, заключенные в скобках, являются составными компонентами начального выражения. Для таких выражений стандартный алгоритм действий остается без изменений. Рассмотреть вычисления можно на практических примерах.
Так как в выражении есть скобки, в первую очередь нужно выполнить действия в этих скобках:
Руководствуясь стандартным алгоритмом, сначала умножаем, затем — вычитаем:
Перейдем ко второму выражению, заключенному в скобках:
Так как в данном случае имеется лишь вычитание, выполняем действие:
Результаты, которые получили при решении выражений в скобках, следует подставить в начальное выражение:
Сначала нужно умножить, затем поделить, а далее выполнить сложение:
10 + 2 × 8 ÷ 2 = 10 + 16 ÷ 2 = 10 + 8 = 18
Порядок действий в выражениях без скобок
В данном случае присутствуют действия сложения и вычитания, которые следует выполнять по порядку, двигаясь слева направо.
Здесь умножение и деление. Данные арифметические операции также выполняем по порядку, начиная с левой стороны, двигаясь в правую сторону.
Когда выражения содержат операции сложение и вычитание, либо деление и умножение, то вычисления нужно выполнять по порядку слева направо.
Нередко встречаются примеры, где есть сложение и вычитание, а также умножение и деление. Тогда в первую очередь делят и умножают по порядку, а на втором этапе складывают и вычитают также в определенном порядке.
Решение примеров
Согласно стандартному алгоритму, проверяем наличие скобок. Так как скобки имеются, начинаем с них:
Полученный результат следует подставить в исходное выражение:
Скобки отсутствуют, но есть умножение, которое необходимо выполнить в первую очередь:
Подставим результат в начальное выражение:
Решим полученное выражение:
Если сразу обозначить порядок действий, то запись примет вид:
Порядок выполнения действий, правила, примеры.
Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий.
В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.
Навигация по странице.
Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание
В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.
Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.
Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.
На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: 
.
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.
Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени.
В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками
Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.
Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.
Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.
Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.
Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.
Рассмотрим решения примеров.
Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.